Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
возникновения и развития диссипативных структур - кинетической модели
"брюсселятора". При этом используются граничные условия 1, 2 и 3 рода,
сокращенно обозначаемые как ГУ1, ГУ2, ГУЗ. Рассмотрена также модель,
описывающая продольный перенос тепла и массы в трубчатом контактном
аппарате, а также гидродинамическая задача о течении жидкости между двумя
бесконечными соосными вращающимися дисками. В дальнейшем изучаемые модели
обозначаются словом "гзадача" с соответ-
Глапа I
15
ствующим номером - именно так мы ссылаемся на них в гл. 5 и 6.
Наибольший интерес у большинства читателей, несомненно, вызовут пятая и
шестая главы книги. Обе эти главы посвящены описанию численных методов и
алгоритмов, используемых для анализа нелинейных систем. При этом в пятой
главе исследуются системы с сосредоточенными параметрами, а в шестой-
системы с распределенными параметрами. Рассмотренные в этих главах
численные подходы иллюстрируются на конкретных примерах - "задачах" из
гл. 4: для главы 5 - это задачи 1-10, а для гл. 6 - задачи 11-17.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными сведениями из области
численных методов (линейная алгебра, системы нелинейных уравнений, задача
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и т. д.). Кроме того,
желательно наличие у читателя определенных навыков алгоритмизации задач и
программирования.
В пятой главе сначала описываются методы анализа стационарных решений для
автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений - их отыскание
и построение зависимости от параметров (построение диаграммы решений).
Здесь же обсуждаются методы определения устойчивости, нахождения точек
ветвления решений (вещественных и комплексных бифуркаций), а также методы
построения бифуркационных диаграмм. Далее рассматриваются способы
вычисления и определения устойчивости периодических решений, построение
зависимостей периодических решений от параметра; проанализированы также
механизмы ветвления периодических решений. Заключительная часть главы
посвящена исследованию хаотических аттракторов, построению эволюционных
диаграмм и методам нахождения периодических решений неавтономных систем.
Здесь же кратко описаны стандартные численные методы моделирования
динамических систем.
Шестая глава книги посвящена описанию методов решения нелинейных краевых
задач-разностных методов и метода стрельбы. Далее читатель найдет здесь
способы построения зависимостей стационарных решений от параметров и
методы определения точек ветвления (вещественных и комплексных
бифуркаций). Заключительная часть главы посвящена методам динамического
моделирования (см. прим. 1) уравнений с частными производными
параболического типа, исследованию
!) Имеются в виду методы численного решения задачи Коши. - Прим.
ред.
16
Глава 1
периодических решений, решений волнового характера и построению
эволюционных диаграмм.
В этой книге мы часто используем термины "бифуркация", "точка бифуркации"
и "бифуркационная диаграмма". Вместо этих терминов (общепринятых в
научной литературе на английском и русском языках) во многих случаях мы
можем подставить соответствующие эквивалентные термины "ветвление",
"разветвление", "ответвление" и т. д.Аналогичное терминологическое
замечание можно сделать и для понятия особой точки векторного поля или
особой точки системы дифференциальных уравнений. В литературе часто
используются термины "положение равновесия" или "стационарное решение". В
гл. 2 и 3 мы будем употреблять преимущественно словосочетание "положение
равновесия", а в гл. 5 и 6, где речь идет уже о динамических системах и
зависимости их решений от времени, мы чаще будем пользоваться термином
"стационарное решение". Термин "особая (сингулярная) точка" будет
применяться нами для обозначения другого понятия. В гл. 5 и 6 мы будем
использовать термин "проварьированное уравнение" (а также
"проварьированная переменная") для обозначения линейного
дифференциального уравнения, характеризующего изменения переменных
состояний при малом изменении начальных условий или параметров (вместо
термина "уравнение в вариациях", который используется обычно в
качественной теории дифференциальных уравнений). Систему нелинейных
уравнений в Rn мы иногда будем называть "системой нелинейных
алгебраических уравнений", с тем чтобы отличить эти уравнения от
уравнений дифференциальных, хотя, конечно, речь будет идти не только о
полиномиальных уравнениях.
В конце книги помещен перечень использованных математических терминов (со
ссылками на место первого применения или определения). При выборе типа
шрифта для отдельных переменных или параметров авторы стремились
облегчить читателю понимание текста. Так, матрицы (А, В, С ...), векторы
(х, у, z, ю, ...), операторы (А, В, С, ...) и т. д. обозначаются
полужирным шрифтом. Там, где необходимо, векторы могут представлять собой
вектор-столбцы, а для операции транспонирования применяется символ т. При
использовании представления вектора через отдельные составляющие,
