Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
терминология и подходы, используемые в этой части книги, могут оказаться
новыми и непривычными. Мы попытались дать
10
Предисловие
такому читателю (по возможности наглядное) введение в указанную
проблематику, тем самым облегчив ему понимание оригинальной, в основном
математической литературы по этой тематике. Основную часть книги
составляют главы, посвященные методам численного анализа нелинейных
моделей.
Рекомендации по изучению материала книги и подробное содержание отдельных
ее частей приведены во вводной главе 1.
В книге, конечно, нашли отражение научные интересы авторов, а также
результаты их оригинальных работ за последние 15 лет. Авторы будут
благодарны читателям за любые замечания по поводу содержания книги.
Своей приятной обязанностью авторы считают необходимость выразить
благодарность Дане Сухановой, инженеру
3. Кубичковой, канд. техн. наук И. Шрайберу, канд. техн. наук К.
Шевчиковой, доктору 3. Сомру, доктору Ф. Ярошу, инженеру П. Кнедлику,
канд. техн. наук Э. Экерту и другим сотрудникам, аспирантам и
дипломантам, чья помощь позволила авторам написать эту книгу. Авторы
хотели бы также поблагодарить обоих рецензентов и научного редактора
книги за ряд ценных замечаний.
Пражский химико-технологический институт Прага, январь 1985 г.
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие моделирования разнообразных естественнонаучных и
технических задач за последние двадцать лет породило необходимость
разработки систематической методики качественного и количественного
анализа моделей.
Модель в самом общем понимании может иметь вид словесного описания или
физической опытной установки (например, с упрощенным и уменьшенным
оборудованием или с меньшим числом протекающих процессов). Далее она
может иметь графическую [1.2] или, наконец, математическую форму. Здесь
мы ограничимся обсуждением математических моделей, описываемых системами
уравнений. Такие модели можно подразделять, например, на детерминистские
и вероятностные (стохастические), эмпирические и механистические,
дискретные и непрерывные, с сосредоточенными и с распределенными
параметрами [1.3-1.10]. В этой книге будет рассматриваться стохастическое
поведение детерминистских систем, однако заниматься анализом
вероятностных моделей мы не будем. Дискретные модели здесь также подробно
не рассматриваются. Наше внимание будет сосредоточено на непрерывных
детерминистских моделях, большей частью механистических (основанных на
представлениях о механизмах процессов). Будут рассмотрены как модели с
сосредоточенными параметрами (независимой переменной в этом случае часто
является время), так и модели с распределенными параметрами (здесь обычно
независимые переменные - время и одна или несколько пространственных
координат).
Математическая механистическая модель исследуемого процесса
представляется обычно системой соотношений, описывающих отдельные
элементарные явления, из которых складывается рассматриваемый процесс.
Типичный подход к построению и анализу модели можно представить в виде
следующих этапов:
12
Глава 1
- анализ процесса, определение элементарных явлений; создание физической
модели на основе описания элементарных, явлений !);
- представление физической модели в виде математической модели;
- преобразование математической модели к удобному (например,
безразмерному) виду;
- анализ и исследование математической модели;
- интерпретация решения в терминах физической модели;:
- сравнение результатов (в терминах физической модели) с исследуемым
процессом.
Для линейных моделей указанная методика разработана практически полностью
(см., например, [1.1]). Иначе обстоит дело в случае нелинейных моделей.
Это объясняется прежде всего рядом новых явлений, с которыми мы здесь
встречаемся. Так, нелинейные модели часто имеют не одно, а несколько
стационарных решений; далее, для них возможно существование колебательных
решений типа предельного цикла, появление хаотических решений и, наконец,
критическое поведение решения в зависимости от параметров. Характерными
признаками нелинейных задач являются: богатый набор различных типов
поведения; специфичность определенного типа поведения для определенной
задачи (модели) или в определенном диапазоне изменения параметров;
необходимость применения численных подходов для нахождения характеристик
решения.
В настоящее время уже существует целый ряд методов, которые мы можем в
более или менее стандартной форме использовать при анализе динамического
поведения нелинейных моделей. Подробное изложение этих общих подходов,
которые рассчитаны главным образом на численные методы, реализуемые на
ЭВМ, и является предметом данной книги. Это подробное изложение
дополняется как простыми примерами, так и результатами анализа типичных
нелинейных моделей более сложных физических, химических и технических
задач.
В данной книге используются термины "системы с сосредоточенными
параметрами" (англ. lumped parameter systems) и "системы с
