Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Д =1 rkXTtrsXrrRktsr - m?SrnrnRktsr (20)
490 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
(введен для удобства множитель 1 /4). По (14) этот тензор, тензор Риччи,
симметричен. Его контравариантные компоненты равны
tfn=±tf2323, R'*=jR2331, R(tm)=jRMlt,
R22=jR:,m. (21)
R:>:>=±R
g
Конечно, тензор Риччи обращается в нуль вместе с тензором кривизны.
В ортогональных криволинейных координатах соотношения (10) заменяются
условиями
г) Р
dts = -j-dq* (s=l,2, 3) (22)
dqk
и требование интегрируемости - существования ортонормированного триэдра
е1; е2, е3 приводится к виду (7.22). Подставив в них значения (7.16)
векто-
t
ров о, приходим к шести зависимостям Ляме
д 1 дНг д 1 дНгдНг
dq1 Нг dq1 dq2 И2 dq3 dq3
d3H1 {23)
dq'ldq3 H3 dq2 dq3 H.2 dq2 dq3
(остальные получаем круговой перестановкой индексов). Соблюдение этих
соотношений гарантирует приводимость выражения квадрата дифференциала
дуги
(7.9) к пифагорову виду. Условия (23) представляют требования обращения в
<?3 в нуль тензора Риччи, выраженные в ортогональных координатах.
§ 11. Сведения из теории поверхностей
Эти сведения будут использованы в основном тексте. Содержание § 11,
конечно, не заменяет ни одной из многочисленных монографий по теории
поверхностей.
1. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Поверхность
определяется заданием вектор-радиуса р на ней, как функции гауссовых
координат q1, q2
Р = Р(<?1. <?2)- (1)
Квадрат линейного элемента da2 на поверхности определяется определенно-
положительной квадратичной формой (первая квадратичная форма)
I=das=rfp-rfp = p"d(?"-paA/P =aafidqadq&, oap = pa-pp (2)
(греческим индексом задаются значения 1, 2). Здесь
Ра=|^ (а=1'2) <3>
- базисные векторы на поверхности. Матрице L Осевсопоставляется обратная
II a"P II
а" = ^, "22=^, а12-fl-|oap| = aiia"-a*,. а"Рар7 = б".
§11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 491
t
Эгим определяется метрический тензор на поверхности
Е2- Оа№"Рр -=a"(JPaf'P =РаР". ра-й"Ррр, ра-р|3 = бр. (5)
Здесь ра также принадлежащие поверхности векторы взаимного базиса.
Поверхность представляет риманово многообразие ^,2. Геометрию на ней
можно построить, основываясь на знании квадратичной формы (2) -
коэффициентов аар(<?1. Ч2}- Они могут быть определены измерениями длин
отрезков, проводимыми существами на поверхности, не знающими о третьем
измерении. Мы покидаем поверхность, введя в рассмотрение единичный вектор
нормали к ней
Pi ^ р2 1
п- - ------г = -- p1xps. (6)
| Pi У р21 ~у а
Дифференцированием соотношений ра-п = 0 приходим к формулам
Pap-п - - Ра-пр - 6ар, Рар-П - рр-пк, ^ар " йРа. (?)
определяющим величины Ьар~Ьра. По ним строится вторая квадратичная форма
поверхности
II - ba$dqadq$ , (8)
принимающая при переходе к новым переменным qa~=qa(q1, q'1) вид
П-бар-^ ^--dqVdq6 ly(,dqVdq6, by6 -- йар-^г- . (9)
ддУ dq6 ддУ dq&
Этим устанавливается, что Ьар - компоненты двумерного симметричного
тензора
В- 6кррарр =ftaP"Pp =6"Ppapp, bi = a$vbay, (Ю)
а векторы na, пр оказывается возможным представить формулами
па = - *"РЗ, пр=-&рра. (П)
Инварианты тензора В определяют величины
1Л (В)=Й +б! =2Я, I2(B)^b\bt-btbl = K = (bi,b22 - bu) (12)
называемые средней (Н) и гауссовой (JQ кривизнами поверхности.
2. Деривационные формулы. Вторые производные рар вектор-радиуса
поверхности не являются поверхностными векторами, их нормальные
компоненты по (7) равны ba$. Основываясь на определении коэффициентов aaр
= = Ра-Рр первой квадратичной формы и в точности повторив вывод формул
(4.5), приходим к равенствам
,|3)
Здесь в рассмотрение введены поверхностные символы Кристоффеля.
Формулам дифференцирования базисных векторов придается вид
Р"[3 - " | Pv + ^apn 0 4)
(деривационные формулы Вейнгартена). Для векторов взаимного базиса они
приобретают вид
Ш -{hK*""- "5>
что следует из формул (4.7) и соотношений pap^ :-6a, aaV 6^,66б •
492
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Геометрия в окрестности поверхности. Вектор-радиус г точки в
евклидовом пространстве $3 в окрестности поверхности представляется
выражением
г=Р-Ьп?.
(16)
Здесь q3 = t-третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности.
Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их
определитель определяются формулами
Га = ра -{- ?па = Ра-&аРу , Г3=П, (17)
?аР = асф - 2^йар -|- g з = ра'П = 0, ?33= 1, (18)
g = giig22 - gli, Vg=(riXr2)-n -= У~а(\- 2Н1+ Kl2) (19)
- были использованы соотношения (7), (10), (11), (12),
Контравариантные компоненты метрического тензора при сохранении лишь
линейных по ? слагаемых определяются выражениями
gaP = a"P-f2 ?6(r)P, (20)
что легко проверить непосредственным вычислением
ga$g^ = (°аР - 2?Ьар) (aPv-)-2?bPl') = 5а-)-2? (aaj$bfiv '-Рт^аР) = 6^,
как и требуется. Векторы взаимного базиса в этом приближении, набла-
оператор и метрический тензор определяются теперь формулами
r" = g"Prp =Р" + ?*ррР,
г3 = п, 3 ,
v=ra n!=(pa+^pp v
(21)
'I' <*>
Е = rar" + nn = papa + t (брРарР + 6"pppa) -f nn = E2 + 2^B + nn. (23)
