Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
0 = r(tm)яп = ^+{"}?9в + {"}?,"?- (3)
Аналогично для ковариантных и смешанных компонент
^ = г"г"ViW ^ { sm} qqn ~ { s"} qmq'
dQ m m d(!mn , \ m\ q j q \ m
W = TmvnVsq.,u vw." = _+<J sq J. qqn-^sn^q.q,
dQ - ¦n_________¦n_______dqm I Я \ -n I j n 1 -q
^-r r"M", ^sqm-^~\sm)q4 qm- ()
Вглядываясь в структуру этих формул, легко усвоить способ их составления;
целесообразность правил расстановки индексов сверху, снизу и
суммирования по немым индексам исключает возможность ошибок, "формулы
сами себя пишут". Конечно, развернутые выражения с явно выписанными
значениями символов Кристоффеля очень громоздки, они потеряли бы про-
стоту и изящество.
При ковариантном дифференцировании сохраняются формальные правила
дифференцирования суммы и произведения. Например,
yrasbt = (\/ras) bt -f as\irbt. (7)
По определению (2.2) набла-оператора
г) Я
уа^г* -^ = rsrkvsak = rsrkvsak, (8)
так что S7sak, SJsak - ковариантные и коконтравариантные компоненты уа.
Конечно,
VaT = rkrs-y sak = sak- (9)
Аналогично,
VQ = r''rmrnv5^m" = rsrmrns/sqmn и т. д. (10)
Здесь S7s9mn> Vsqmn - компоненты различной структуры тензора третьего
ранга vQ.
Следствием соотношения (2.17) является равенство нулю ковариантных
производных компонент единичного тензора (теорема Риччи)
Vsgmn = 0, Vigm,i = 0, Vsgn^O. (11)
Это легко проверяется и непосредственным вычислением; например, по (4)
п) - [sn, m]--- 0, (12) как это следует из определения (4.5) символов
Кристоффеля первого рода.
474
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Компоненты метрического тензора при ковариантном дифференцировании ведут
себя подобно постоянным, их можно вносить или выносить за знак
ковариантной производной. Например,
Vsak--=s?sg,dat = glitysat, 4sak=gkt^saf.
Это соответствует определению метрического тензора
уа = VE-a ; Е-уа.
Теорема Риччи распространима на изотропные тензоры любого ранга (I. §
15)-тензор Леви-Чивита е --ЕхЕ тензоры четвертого ранга (1.15.1) и т. д.
"Приложение" имеет цель сообщить правила вычисления с тензорами в g?.,.
Поэтому здесь не уделено места геометрическому истолкованию ковариантного
дифференцирования - понятиям параллельного переноса, геодезических линий
и т. п.
§ 6. Вычисление дифференциальных операций над тензорами
Инвариантные представления операций над тензорами (градиент, дивергенция,
ротор) были определены в § 2. Здесь рассматриваются правила их
вычисления.
1. По выражению градиента вектора (5.8) определяются его ротор и
дивергенция
(3 (js ( s )
v • а = г* • = gskVsak = V дг5= j $m J- am.
По (4.3) и (4.8)
pSkt .) 4 K - rkSt ) ч I rskt ) ч V-n ) л l "т-д ln VlL
dq"
.b, да/t , daJ da2 " " da1 das da2 da1
yxa = rteskf~, 2o) =- - , 2co2=- - --, 2о)3==^-г- д-т ,
dqs dq2 dqA dqJ dq1 dq1 dq2
(1)
(2)
2. Ротор и дивергенция тензора второго ранга
VXQ=r*Xr"r"vi9mB=6^r"(^-{ ^ I} qm) .
riT1B(tm)""^r"vs</'" = r" (^?+{ ;m| ?""+{ s"} Я*
V'Q
Соотношения
p/rnti q \ _o _rJ q\ = _dJl r I n\dtjn \sm \ ' \ sn f dqs
' " \ sm \ dqs
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
475
позволяют преобразовать эти выражения к виду
VXQ-e^rf^r?9m(J = r*xr"r?VsW ' (3)
Ч V-Q=7^^'r'- (4)
Первый инвариант ротора симметричного тензора оказывается равным нулю Q
QT: h (VXQ) = (r*Xrm)-r"V.es""/\sqmq-=0. (5)
Первый инвариант ротора кососимметричного тензора определяется по (2.19).
3. Двукратное дифференцирование. Набла-оператор над градиентом скаляра
определяет симметричный тензор второго ранга
VV(p -r94rfe5==rV(w_{^ }^)=(VV4,)T- (6)
Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над ф
V-Уф== У2ф --gsk (-----1 т, - (7)
\dqsdq,; \sk\dqmj
а вектор (ротор от градиента) равен нулю
---ЧЧЧЧЧ
В другой записи формулы (6) учитывается, что в применении к скаляру
операции дифференцирования и ковариантного дифференцирования неразличимы
УУФ = (УУф)т -- гк - г^ф = rVy/^W = rVvjVj^ = r'-'r'y.sv^. (9)
dq*
Соотношение очевидное для скаляра, остается верным
(это доказывается в § 10) для компонент тензора любого ранга
VftVi(---) = ViVft (••¦)¦ ('0)
Выражению лапласиана теперь придается вид
v:2Ф -= тк • Ку* у*Ф = ekSVkVsy = VSV^ • (11)
Здесь введено обозначение операции "контравариантного" дифференцирования
Vs=gskVk- (12)
4. Развернутые выражения операций второго порядка над вектором громоздки.
Тензор третьего ранга ууа допускает следующие свертывания,
снижающие его ранг на две единицы: образование лапласиана и
градиента
дивергенции
V2a = у?а = г* • Ч. rirks/ial'^gstrilysytak -- г(13) vv.a = rJ4_JL_jL
yTj, (14)
dqs У g dqk
Через эти векторы представляется еще один вектор
V X(vXa) = уу-а- V2a- (!5)
476 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Дивергенция тензора vaT представляется выражением
V-vaT = r* ¦ ^Jr*r#Vfa/i = 6|r/VsV/aft=r'v<Vftafc
и по (14)
V • VaT - = VV 'а. (16)
Снижая ранг тензора vVa на единицу, получаем тензоры второго
ранга-
ротор градиента и градиент ротора
VXVa - 0, vVXa- r?r*v"/(17)
5. По тензору четвертого ранга VVQ образуются тензоры второго ранга-
