Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(г5 • S) X г* = Sstrt Хг5 - Stsrs У, rt - Sstrs X r( = О,
(rJ-Q)xrJ = (rJx w) X r s = mrsTs-Tsm Ts = 2<i>.
Пришли к соотношению
y(Qxr) = (yQ)Xr + 2w, (7)
в котором (о-сопутствующий кососимметричной части Q вектор. При
Q = QT: y(QXr) = (yQ)Xr. (8)
470 ПРИЛОЖЕНИИ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
y-(Q-a) = (yQ)-a +r?-Q • ^ = (yQ)-a + ry-(Q-vaT)-rs
^=rmr nVsPmn, yP ~rsrmrnVspmn-
4. Дивергенция rXQ
V-(rxQ) -- У •(rXr,"r"pmn) = rr-(riSxrm) rn(/m,! + rs'-(rXrm) r" ysqmn =
= (rsXrs)-Q.-r-(г4Xr,"r") \jsq'nn = (rJXг*)• Q - r¦ (у xQ).
Первое слагаемое но (2.16) отпадает. Получаем
y-(rxQ) = - r-(yxQ) (9)
- в ходе вывода было использовано правило дифференцирования тензора
(5.3))
5. Дивергенция произведения тензора на вектор
да
dqs
= (y-Q)-a+/1(Q-yaT).
Пришли к часто используемому преобразованию
V-(Q-a) = (y.Q)-aJ-Q..yan (10)
6. Дивергенция произведения тензоров. В ходе вывода используется
приводимая ниже в § 5 формула дифференцирования тензора второго ранга
дР
dqs
Здесь уР-тензор третьего ранга. Получаем V(Q-P) = (r'.|^).P+(,*.Q).^ =
= (V-Q)-P+(QT-r4).r'*r" Vspm"=PT-V-QW--rW'Vsp,,m,
так что
y.(Q-P) = PT-(yQ) + QT--VP. (11)
7. Ротор векторного произведения QXr
V X (Q X г) = (у х Q) X г -f- rs X (Q X Гу),
г4X(QXгД = rfXrmr"XTsq'm - eSmqenstrl]Tiqm = (b?bn - Ь"Ь]) r^q'm =
= ?iV'-r,r V = QT - E/X(Q),
так что]
У X (Q Хг) = (у X Q) Xr-f QT - E/j (Q). (12)
§ 4. Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля
1. Принимается обозначение производных базисных векторов
drs . . дг1 _ д2г
dqt St fs dqs dqi dqs
Их представления в форме разложения по базисным векторам задаются
выражениями
iV=Wi>' (2)
Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго
рода (они часто обозначаются Г^). Из определения следует симметричность
§ 41
ПРОИЗВОДНЫЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ
471
символов по нижним индексам
Ш-иЬг1"гь- • (3)
Следствием (2) являются соотношения
¦gqk = Tst-rk> (4)
{5}'
правые части которых выражаются через производные ковариантных компонент
метрического тензора. Действительно,
д д _
~~Г rs'Tk- ~7 7* gsk - rst'rk + Г?-ГИ>
dq' dq1
д
gkt-=rks-rt + rk-ru,
д
-- gts - rtk 'ri + гГ rsk dqk
и величину в правой части можно получить, вычитая третье равенство из
суммы первого и второго
rst.rk=L( к].
2 \ dqг dq6 dqk )
Величины справа называются символами Кристоффеля первого рода
Ь2 \ dqt ^ dqs dqk )
Формулам (4) и их обращениям придается вид
(5)
= У Г* = [S/, Й], j>=g4h{st, k}.
(6)
Этим вполне определены производные (2) векторов основного базиса.
По ним можно определить и производные векторов взаимного базиса:
6( = rr-rt= О, . г1 + г'5'-г№=-^г . rj+rJ- -Щ г9
= 0.
drs , .
• n-f r-r(ft=---------
dq'c dqk
Приходим к формулам
dr5 , I s 1 _ drs ( s 1 t
dqk *rf+ ' dqk~~\kt\T' ( )
2. Производная g. Имеем
" ^dqk = ^ri-(r2Xr3) = {\k } г",(ГгХг^+ {гй } r"'(r3xri) +
так как, например, r,"• (r2Xr3) ф 0 только при m=l. Приходим к часто
применяемым соотношениям
= s I 5 1 ' (8)
dqk V g \sk f ' dqk ~ \ sk ( '
472
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Преобразование символов Кристоффеля. В новой системе криволиней ных
координат
Формулы преобразования компонент тензора третьего ранга (I, § 7) имеют
вид
тогда как в (9) входит лишнее (подчеркнутое) слагаемое. Символы
Кристоффеля поэтому не являются компонентами тензора.
§ 5. Ковариантное дифференцирование
Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения
координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной
структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено
присущими ему свойствами; оно определяется с помощью набла-оператора - в
символической записи: d (•¦•) = dr-\(•••}. Иначе обстоит дело с
компонентами, их изменение зависит еще от внесенного в рассмотрение
базиса. Например, пусть а-постоянный вектор, da = 0, но ak или ак вовсе
не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных
компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению.
Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости
тензора, сочетающие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к
которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного
("абсолютного") дифференцирования.
Задав вектор его контравариантными компонентами и сославшись на формулу
дифференцирования базисных векторов (4.2), имеем
qr = qr q'-')
базисные векторы преобразуются по закону Эг _
Поэтому
dq*
так что
(9)
(10)
При задании вектора его ковариантными компонентами по (4.7)
Величины
§5]
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
473
называются ковариантными производными компонент (контра- и ковариантных)
вектора. С их введением производная вектора представляется выражениями
да да. .
-gji=r hS/sa'\ ^j=r ks/sak. (2)
Сходное вычисление для тензора второго ранга дает dQ д dq"
- - лТППг "• -. '
----- лСТПг г
dqs~dq*q mTn~~ dq
'lr r j.pmn(i 4 \r r iJ 4\f r ' mn 1 q V\smf чгп I Xsn(rmrfl
(4)
(5)
или после переименования немых индексов
