Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 320

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 742 >> Следующая

Однократное свертывание тензора шестого ранга ее приводит к тензору
четвертого ранга
е-е = (ЕхЕ)-(ЕхЕ) = ЕхЕхЕ = г srs X rfTtXr^rk =
= est4eikmxsT(lrmrk= {§1§т-OI) r5r"r"rft =
= rsrftrV - r^r'V = Cn - Cm.
Здесь введены обозначения тензоров четвертого ранга, названных далее
изотропными
Сц=г4.г^Ог*, Cnl = rsrftrV = r4.Er^. (14)
Приходим к соотношению
е-е = ЕхЕхЕ = Сц-Сщ. (15)
При двукратном свертывании
е- •e = rJrft-rJr/'-rsrm-rmts = Е - ЗЕ = - 2Е. (1(5)
Следствием этого соотношения является обращение формул (8) и (11.8)
е--Й = - е-•е-ш = 2Е-(о = 2о), со = -^-е--Й. (17)
В частности, по (11.1) сопутствующий диаде ab вектор
ю=-^-Ьха (18)
и по (17) векторное произведение axb оказывается представимым в виде
ах b = e--(ba - ab), ba-ab = Ex(axb). (19)
Замечание. Применяется обозначение векторного произведения в форме
"векторного инварианта"
y(ab - ba)^ = у (axb -bxa) = axb.
§ 15. Изотропные тензоры
Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при
любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно,
произведение изотропного тензора на скаляр - изотропный тензор.
Единичный тензор - единственный изотропный тензор второго ранга, его,
например, ковариантные компоненты в исходном и повернутом базисах равны
gsk = rsrk = r's-0-0'T-rii = r's-rk = g'sk.
Отличных от Я.Е изотропных тензоров второго ранга нет.
Тензоры высшего ранга, представляемые через тензор Е, изотропны. Таков,
согласно (14.8). тензор третьего ранга Леви-Чивита е; Хе-единственный
изотропный тензор третьего ранга *).
Тензорами четвертого ранга, образуемыми по Е, является тензор ЕЕ и по
(14.15) тензор Си-Сщ. Но и каждый по отдельности тензор Сц, Сщ изотропен.
Действительно, по (8.5), (8.8)
VrS = Vs ' ОктТкТ'п = 0Sm Хт, I-S = • ОтТтТп = ofrn.
*) Компоненты е меняют знак при несобственно ортогональном
преобразовании. Такие тензоры (нечетного ранга) называют демитропными.
§15]
ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ
445
так что
r'^Ers = osmosn гиЕг" = ЬтГт Er" = rmErm Сш.
Для трех изотропных тензоров четвертого ранга
C1 = EE = ririrfers, C,i=r5rferVs Сп, = г^Ег^ = г^гМ (1)
возможны эквивалентные записи. В каждой из диад r^ri, г*г* тензора С[
допустима замена верхнего индекса нижним, нижнего верхним, тензор
остается равным ЕЕ. В Сц переставимы диады г^, г5г*. Их можно записать и
в видах rsrk, r^r;;. В Сш переставимы первый вектор с четвертым, второй с
третьим. Например,
Сц =rsrAr*rft = gigr'7r*gi"'r"!r* = &(tm)rVrkrmrk = r9rkTqrk
и т. д. Изомером тензора называют тензор, получающийся из данного при
перестановках индексов базисных векторов. Например, QT - изомер Q,
изомерами тензора саьсгагьтс является тензор саЬсгсгать и т. д.
Существует п! изомеров тензора n-го ранга, их число уменьшается при
наличии симметрий структуры тензора. Так из общего числа 24 изомеров
изотропного тензора четвертого ранга несводимы друг к другу только три
тензора (1).
Общее выражение изотропного тензора четвертого ранга поэтому записывается
в виде
4С = ХЕЕ~1- ц (Сц - CinH-v (Сщ-f Сп). (2)
(3)
Двукратные свертывания с тензором второго ранга приводят к тензорам С] •
*Q = EJ1 (Q) = Q--С], Сц •-Q = Q--Сц = QT, Сщ--Q = Q--Сщ =Q. (4)
Поэтому двукратное свертывание с (Сц + Сщ) выделяет симметричную, а
с (Сщ-Сц) - кососимметричную часть Q. Приходим к соотношению
Двукратное свертывание Св- •Ci (К, L = 1,
одному из этих же изотропных тензоров, как :
с, Сц СШ
Ci зсх Ci Ci
Сц Cl Сщ Сц
Сш Ci Сц сш
^с1+2-МсП + сш) +у v (сШ"сл)
•Q = ^E/1(Q) + jxS + vfl. (5)
На правилах (7.16) основываются соотношения (А, В-тензоры второго ранга)
(С,--А)-В = /1(А)В, Сц •А-В = Е/х (А-В), (6)
(СП--А).В = АТ.В, СП--А-В = ВТ-АТ, (7)
(Сщ"А)-В = А-В, СШ--А-В=А-В. (8)
Найдут применение формулы
СГА = ЕА, С11ГА = А-Ст. (9)
Свертки тензоров (их всего 9)
CK-CL, К, 1 = 1, II, III (10)
•- изотропные тензоры шестого ранга. Но это не все такие тензоры, к ним
надо добавить каждое слагаемое представления по базисным векторам
446
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
тензора ее. По (2.5)
8f 8" 6f
ee = rVrArmr"r/, 6? 8? 8? =
К К К
= iVr* [г" (гггА-г*гг) + Г((гАг^-r^rA) + rft (rsrt-TtTs)}. (11)
В формулах (10), (11) представлены 15 изотропных тензоров шестого
ранга
из 6! -120 возможных. Окажутся полезными формулы шестикратного
сверты-
вания этих тензоров с тензором шестого ранга ААА, причем А = АТ.
Например,
ЕЕЕ AAA - it (А), ЕС, ААА = Д (А) /г (А2),
Сц-Сщ........ААА = 1Х (А2). (12)
Но инвариантных скалярных структур третьей степени относительно компонент
А, кроме перечисленных в (12), нет. Поэтому к этим же инвариантам
приведет свертывание с ААА изотропного тензора (6) 6С общего вида
6С = 2 аА1сЛ"Сд + гМг* [г* (a10r(i>+aur/erj)-f
К L
+ rt (о12ГЛ-(-а13гл) + гА (а14гл + а13г^)]. (13)
Получаем
6С ААА = 1 К7* (А) + 6Vi (A) 7i (А2) + 8Vi (А3)], (14)
причем vj, v2, v3 линейно выражаются через ак. В применении к удельной
потенциальной энергии нелинейно-упругой изотропной среды Тупин и
Бернштейн [8.13] называют vi, v2, v3 постоянными Ляме третьего порядка.
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed