Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Сказанное имеет пока формальное значение, так как в числе корней полинома
S* (X) может оказаться пара комплексных сопряженных Хг, Х2 = Х; им
соответствуют пары векторсв также комплексно сопряженных (е2 = ех, е2 =
е1), что следует из (3), поскольку компоненты Q вещественны.
В базисах е3, es тензор Е представйм по (4.14) выражением
Е = е3е^ -e3eJ = e1e1-'-e2e2 -e3e3 = e1e1-f-e2e2 + e3e3 (13)
*) Индекс, входящий в левую и правую части равенств (9), не является,
конечно, немым.
436
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
И ПО (1)
3
Q = E-Q = QE = 2 ^е^^е^ + ^е^ + Хдезе3,
QT= 2 V4 = V^i-f V2e2 + A3e3e3.
S= 1
Была бы неуместна запись А^е^, так как правило предполагает суммирование
по двум индексам.
При det Q Ф 0 в числе корней полинома 53 (А) нет равного нулю. Это
позволяет сразу же составить выражение обратного тензора Q-1. Имеем
Q-1-Q = E, Q"1-Q-eJ = E-e^ = ei,
з
Q 1 * А^е^е^' ~ Q 1 '- e^, Q 1 • e5 = As e^
ft=i
- главные значения обратного тензора равны обратным значениям главных
значений тензора, а собственные векторы Q и Q-1 совпадают
1 1 1 3 0"1 = -?7е1е1+-5Ге,е* + -геае" = ? АГЧе*. (15)
1 2 3 S=1
Непосредственно по (14) имеем также
зз з
Q2 = Q-Q=2 2 = УЧЧе*
S= 1 k-1 s-1
и вообще при целом положительном, а для неособенного тензора и при
отрицательном целом, п
3
Q"=2 4ese5 = А" е^1 -f X"e2e2 + A3e3e3. (16)
S= 1
Диады eje1, e2e2, e3e3 определяются из решения системы уравнений
ete3 + е2е2 + е3е3 = Е,
Vie1 + А2е2е2 + А3е3е3 = Q.
A^e1 + >4e2e2 + Азе3е3 = Q2
с определителем Вандермонда
A = (Ai- А2) (А2- А3) (А3- АД,
отличным от нуля, когда корни определяющего уравнения - простые. Получаем
eiel = fp^JXi) ^ ^ ЕА2А3] = (Q-A*E)-(Q-А3Е)
и т. д., причем
р>' (А,) = - (А,-А2) (Aj-А3) и т. д.
В другой записи этим выражениям придается вид
e^ = -^i_r[Q2_(/l(Q)_A,)Q + EAr4(Q)]. (I7)
j9] ГЛАВНЫЕ ОСИ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА 437
Следующие замечания относятся к случаю, когда Q-симметричный тензор. В
этом случае при наличии кратного корня (^ = ^2?= Я3) по (14) имеем
Q==(e1e1 + e2e2) Я,1 + Я,3е3е3 = ЕЯ,1+(Я,3 - ЯД е3е3 (18)
- диады е^1, е2е2 не входят в определение Q и их знание не требуется. При
наличии трехкратного корня (Я, = Х2 = Я3) тензор Q "шаровой", равный
произведению скаляра на единичный тензор
0 = ЯЕ. (19)
Если Q--несимметричный тензор и полином (5) имеет кратные корни, то
представление тензора по собственным векторам, вообще говоря,
усложняется: оно определяется структурой соответствующих элементарных
делителей. В этой книге подобное представление несимметричного тензора не
находит применения.
Тензор Q1//z. Положительным называют тензор, если образуемая по нему
'квадратичная форма a-Q-a положительна для любого отличного от нуля
вещественного вектора а. Единичный тензор Е положителен, так как а-Е-а =
= а-а = о2. Другой пример - произведение Q-QT, если Q - неособенный
тензор. Действительно,
a-Q-QT-a = b-b = 62> 0 (b = a-Q = QT-a),
так как Ь Ф О, поскольку a = b-Q_1 Ф 0. Положителен тензор, главные
значения которого положительны, так как es-Q-e5 = ?^ | es |2 при s = 1,
2, 3. Матрица компонент положительного тензора - сильвестрова,
положителен ее определитель и главные диагональные миноры.
По положительному тензору может быть определен тензор, главные значения
которого равны квадратным корням из главных значений тензора
Q'/2 = e1vOi1eie1 + e2y%!e2e2 + e3y%e3e3, е^= ±1.
Можно назначить различные комбинации знаков, но условимся, если не
оговорено противное, приписывать j/TJ (s=l,2, 3) положительные значения,
иначе говоря, считать Q1^2 положительным тензором
Q1/" = ]/'Х^е1е1 + ]/Х^е2е2 + У^е3е3. (20)
Определение компонент тензора Q ^ по компонентам Q сводится к решению
системы уравнений вида
tn.rtn.t = qs-t (msr = Ts-Q.1/2-rr).
Эта задача в существенных чертах той же трудности, что и решение
кубического уравнения, определяющего собственные значения Q.
Теорема Гамильтона - Кэли. Уже упоминалось, что эта теорема (7.14)
позволяет выразить Q3, а вслед за этим Q" при п > 3 через Q2, Q, E = Q°.
Исходим из равенства
з
Q3= 2
S = 1
в котором Я| может быть заменено его значением из характеристического
уравнения
l3s=Ii (Q) Я*-/2 (Q) Я, + /.(Q).
Получаем
ззз
Q3 = 7i(Q) S *Jeje*-MQ) 2 WS+MQ) 2 е^'
s = 1 s = 1 s = 1
438
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
откуда по (16) сразу же следует
Q3 - h (Q) Q2 + /2 (Q) Q-/3-(Q) Е = 0 (21)
- "тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению". Следствием
для неособенного тензора является соотношение
Q-1=T^Q)[Q2-/l(Q)Q+/2(Q)E]- (22)
Неравенства для инвариантов положительного тензора
MQ),Ss3/'/3(Q), /2(Q)Si3/;/"(Q), /J(Q)^3/*(Q). (23)
Первые два следуют из теорем о среднем геометрическом и среднем
арифметическом
(W,",)''¦< J-с, + х!+х,), (^)v,< тЦ+х+ъ)-
Третье следует из легко проверяемой по (8) формулы
/12(О)-3/2(0)=^[(А1-?.2)2 + (Л2-Аз)2 + (Яз-?н)2].
Только для шарового тензора неравенства (23) становятся равенствами.
Третье неравенство (23) не требует, чтобы тензор Q был положителен.
