Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 1.15, а). Траектория шара изображена сплошной линией со стрелками,
указывающими направление движения. Отражения от диска происходят по
обычному закону: угол падения а равен углу отражения (3. Движение
считается пространственно периодическим по обоим направлениям. При этом
можно считать, что траектория, проходящая через одну сторону ячейки
периодичности, возвращается с противо-
Общий обзор и основные представления
71
положной стороны под тем же углом. Синай [377] показал, что эта система
обладает и эргодичностью и перемешиванием. Она представляет интерес и для
статистической механики [133].
Другим хрошо известным примером эргодической системы является
"преобразование пекаря", которое отображает единичный квадрат на себя:
Для наглядности используя знаменитого арнольдовского кота [14]-находим,
что это преобразование похоже, см. рис. 1.15, б, на дейст, вне пекаря,
раскатывающего, разрезающего и складывающего свое тесто. Движение этой
системы является неустойчивым и обладает свойством перемешивания.
Таким образом, имеются явные свидетельства в пользу статистических
свойств отображений в областях неустойчивого движения. Что же касается
более сильного предположения о возможности использовать приближение
хаотических фаз, когда движение системы напоминает случайное блуждание в
импульсном пространстве, то это зависит также от наличия существенно
различных временных масштабов для перемешивания по фазе и по импульсу.
Для многих динамических систем перемешивание по фазе происходит гораздо
быстрее, чем по импульсу, что и позволяет ввести разные масштабы времени.
*1.46. Более чем две степени свободы
Все вышеописанные эффекты для автономных систем с двумя степенями свободы
имеют место и для систем с более чем двумя степенями свободы. В типичном
случае стохастические и регулярные траектории тесно сосуществуют в 2Д^-
мерном фазовом пространстве и на (2N-2)-мерной поверхности сечения, а
стохастические слои расположены вблизи резонансов. Толщина слоев растет с
увеличением возмущения, что приводит в конце концов к перекрытию
первичных резонансов, движению поперек слоев и сильной стохастичности.
Однако при достаточно малом возмущении первичные резонансы не
перекрываются. В этом случае возникает новое физическое явление -
движение вдоль слоев, или так называемая диффузия Арнольда.
Диффузия Арнольда. Для двух степеней свободы двумерные инвариантные
поверхности (торы) разделяют трехмерный энергетический "объем" в фазовом
пространстве на изолированные слои, подобно тому как линии на плоскости
выделяют изолированные об-
(1.4.9)
72
Глава 1
ласти (рис. 1.16, а). Но уже для трех степеней свободы трехмерные торы не
разделяют пятимерный энергетический "объем", как линии не могут
изолировать трехмерную область (рис. 1.16, б). Таким образом, при N>2
инвариантные A-мерные торы не разделяют (2N-1)-мерную энергетическую
поверхность на отдельные области. Поэтому при А>2 в типичном случае все
стохастические слои на энергетической поверхности связаны в единую
сложную сеть - паутину Арнольда. Эта паутина пронизывает все фазовое
пространство, подходя сколь угодно близко к любой его точке. Для началь-
Рис. 1.16. Топология энергетической поверхности (поданным работы [273])-
а - двумерная энергетическая поверхность (плоскость) разделяется
инвариантными кри-выми на изолированные области; б - трехмерная
энергетическая "поверхность" (объем) не разделяется одномерными кривыми.
ных условий на паутине стохастическая траектория пересекает в конце
концов любую область энергетической поверхности, даже когда возмущение е
-v 0. Это и есть диффузия Арнольда.
Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для
специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до
сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда.
С практической точки зрения возникают два основных вопроса: 1) какова
относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области
фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или
иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно
получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6).
Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов
приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает
движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является
движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии
по крайней
Инвариантные
нривые
Инвариантное к г 1 (вые
А
б
Общий обзор и основные представления
73
мере трех резонансов. Схема такого движения изображена на рис. 1.17. В
плоскости (Jv 0Х) показана проекция резонанса и его стохастического слоя.
Ось переменной действия У2 перпендикулярна этой плоскости. Для
консервативной системы с двумя степенями свободы сохранение энергии и
изменение J г только в пределах стохастического слоя ограничивают
