Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
1 3
^<';--/;)(++/:+)Ч|г. <3>
и представлению (4.2.4) тензора напряжений Коши придается вид
тЧр /I [WE+(/;•- /" f - Р] (++/; ?) +
+ j/I(/;lrE-lrF)- №
Заменив здесь F2 по формуле Гамильтона - Кэли F2 = V4 = (If - /;) V2 -DV
+ Д/'Е, после подстановки в (6) получим
= |/-?(^е+ф;у + ф^2). (7)
Выражения фг повторяют формулы (4.2.5)
г, дэ дэ , ,, дэ ,, дэ ,ц\
Фо - -^з ~туг . Ф1 - -г + h ~туг > Фг - ~туг , (6)
а/3 a/i а/2 а/2
но в представлении (7), аналогичном (4.2.4), отсутствует мно-
житель 2.
Для полулинейного материала по (5.5.4)
э - -г (^ + 2р.) Д -(ЗК -2уь) /х • 2|т/2 + -н- (9А + 6р) (с0
§ 17] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 373
и по (8) и (7)
Фо = 0, ф( = %(/[ - 3) - 2р; = _ 2р;
UI2
7= ]/ f\[l(l[-3)-2]i]\ + 2^}, (Ю)
причем представление Т, конечно, согласуется с (5.5.5).
Повторив вычисление (4.5.2) в применении к представлению (7) тензора Т,
имеем
т=-tv-w + УX№v + ^F)+ У f (ф;е + ф;у + ф;у2) =
= _TV.W+ у -||"^VwT-V+V-Vw--2^^^^-fteft-e-esefte^+
2 2
2 Vill ?^rVrV"..e(w).
-- 2
+ ^(VvvT-V2 + V2-Vw) '
Г=0 X = 0
Были использованы выражения (1.11.10) и (1.10.11) тензоров V, F -- (V2)1;
(1 лт выражаются через фг по формулам (4.5.5). Полученное выражение
преобразуется теперь к виду
f= -TV vv + VwT T + T- Vw-2 У -J(^e(w) +
2 2
+^ 22 УУгк •8 (w) • е леЛ+2 У it 2 ¦8 ('w)
s k S J Г=0 N = 0
и по (4.5.8) приходим к представлению тензора 0
0 =
= T-Vw -2 У[ф;е(№) + ф(2И(^р^е^8(и,),еЛе
+
2 2
-2 /-f L Е -8(w). (11)
Г = 0 Л' = 0
Квадратичная форма 0-Vwr, положительность которой гарантирует безопасное
нагружение, приобретает вид
0- •VwT=TVw- • VwT-2 Уf[ ФЛ (е2)+Ф(211^(ег8-е,)2
+
+ 2 У ? 2 2 W1(v^-e)/1(vr-e). (12)
N=0Г=0
374 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Первое слагаемое оценивается формулой (15.4) и применение критерия
(15.11) приводит к неравенству
Н /
s k I/
(13)
Введя здесь, вместо (15.4), обозначение v для максимального из трех
главных значений тензора V, имеем
VfVb ^ 1 , . 4^-1-
vs + vk 4 v s ^ 2
з э (Ш
L L (efc • 8 • es)2< I о Д (е2)
S=1 6=1 5 ' п
и, усиливая неравенство (13), получаем
(Д+1)(а -ст3)< ]/"-|-(|ф( |ц -ф'). (15)
Для полулинейного материала по (10) эта оценка приводится к виду
(К + 1)(о-о3)< У-§-й|ЦД-3)-2р| (16)
и, конечно, сохраняется задача проверки знака квадратичной формы
C(elt е2, е3) = 2 |/ [ОпД (V-e) + ^a/f(F-e) +
+ 2%Д(У-в)Д(Р.В)] (17)
(так как йоГ = 0, Г -0, 1, 2).
Для стержня, сжимаемого продольной силой, в обозначениях гл. 8, § 13
имеем
ф( = A,(2Sj - 6) - 2р, |ф(| = 2р(1 + v6),
j/j-= (1+v6)2(l -S), y=l-t-v6 и безопасное нагружение представляется
выражением
Q _. _ " О 2H(1+V6)2-Sp , | 04
§ 18. Несжимаемое упругое тело
В несжимаемом упругом теле удельная потенциальная энергия-функция
инвариантов Д, Д
э=э(Д, Д) (1)
$18] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 375
и формулами (2.3) задаются "определяемые величины" (обозначаемые индексом
Е).
Представление потенциальной энергии записывается в виде
r?(R + T]w)-r?(R) = iir]?+^2^2E. (2)
Здесь
fo.wdO, (3)
V V о,
= НУ 'Fe dV - 1 Щ 0?. • VwT dV (4)
я по (2.11)
i ТЕ- • Vw • Vwг + 2 [ф2/х ((F • е)2) + du/J (F • в) +
+ "(F2-e) + 2{l12/1(F.e)/1(F2.8)]. (5)
Здесь ТЕ - определяемое напряжение
T? = 2(^1F + i)32F2), (6)
а фг и йлт (N, Г=1, 2) задаются формулами (4.3.5), (4.5.5). Тензор 0Е,
определяемый по (2.10), линейно выражается через Vw
ef = 0F*')v'w:=T?-'Vw + 4 {%F-e-F-+ ^ц/i (F-e) F +
+ 8"/x (F2• e) F2 + fl12 [/x (F2 • 8) F + A (F • e) F2]}. (7)
Уравнение связи
Г /., (R ||WI - KTTlR) = 0
при учете квадратичных по г| слагаемых по (1.12.5) представ-
ляется формулой
Т)7! (е) +у T]2[/i(e) -VwT- • VwT] = 0 (8)
и после умножения на р-\-1/гцр' и интегрирования по объему, преобразуется
к виду
w dV + у г)2 УЦ (p'V-w - pVwT- ¦VwT)dV =
Г V
= rlf НН Р N'wdO - JJJw'^7'^N) + Yt12 j'Jp'N-wdO
\ о г / [о
- JJj* (w-Vp' -f-pVwT- • VwT)dO
v
Слагаемое
pJ\ (p)dV = $ V-(pwV- w)dV - $ И W,V (pV- w)dV =
v ' v V
= pN ¦ wV -wdO - j j j w • V (p-Vw)dV
о
0. (9)
376 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
не включено в (9), так как V-w = 0 с точностью до членов порядка г)2 -
оно не внесло бы вклада ни в уравнение статики, ни в краевые условия.
Вычитая (9) из (3), (4), приходим к представлениям
V
~ ' VwT - р\ ¦ w - p0k- w)dV- 55*"' w dO -
У о,
= j) J J (T?- • VwT+w-V^i -p0k-w)dK-(f° + pN)-wdO, (10)
У 0,
2W 2 = 2W 1E-\\] (p'V-w + p0VwT - - Vwт)Д/ =
г
= S S S t- p'V-w + (0? + /?VwT)- • VwT]dK. (11)
v
В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии ИД = 0.
Это непосредственно следует и из преобразования выражения (10)
ВД v-VwMK= $5$ [V.(Vw)-(V.T?). w]dl/ =
У г
= 55 N-VwdO-JSJ (V-T+l-wdl/
O, У
и в соответствии с уравнениями равновесия (7.2.11) в ^-конфигурации
W1 = -^(V-TE~yp + p0k)dV+m[N-(TE-Ep)-nWdO.
v о,
По определению, принятому в § 10, это равновесие устойчиво, если вторая
вариация потенциальной энергии W2 положительна. По (11) получаем
5SS(@f + pVwT)--VwTdl/>0, (12)
v
так как включение в подынтегральное выражение равного нулю слагаемого
