Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 292

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 286 287 288 289 290 291 < 292 > 293 294 295 296 297 298 .. 742 >> Следующая

Фигнера) е,, е2, е3 в ^-конфигурации.
Для первой главной волны ех = N
F ^=yfNN + vle2e2 + и§е3е3, iVj = N ¦ ех = 1, Ns^ N-e3 = 0, ^3 = N-e3 =
0. (1)
Выражение акустического тензора (4.11.16) приводится к виду Q - [(*.-уФо
j ^11 + '2 Ф2) +yi^22 + 2&01Ui-)-2{l02Ui-|-
+2§12о?] NN + у уДфх + ф2у?) Е+у ф2 (yJNN + i>ie2e2 + у|е3е3). (2)
Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, определяются по
(7.8) формулами
¦^|Р0С?2 = Ф1 + Ф2 (Wi + W*). ^|РоС2з = Ф1 + Ф2(У1 + ^)- (3)
По (4.3.4)
Фг + Ф2 М + vl) = 4- уГ--^т=Ц > ф! + ф2 (vt+vt)
/ У g Vl- V2 г т g v! -t's
и представлениям (3) придается вид
рсх2 ах-а2 рсХз о, - Од /,.
2 2 2' 2 2 2 * \ / Dl Di-Da Vi Di-D3
Квадрат скорости продольных волн представляется по (2) выражением
Y Pocn = ^oo -j Ф° ~byi(^n'r-2^l2)^~ yi^2 2 + 2H01Wi -j- 2H02ut -j-
+ 2&12v? + j vI (i|y + 2ф2). (5)
Оно также представляется через главное напряжение оу
^^-^(Фо + ф^ + ФаУ4) (6)
§э1 Главные волны 349
и несложно проверить, вспомнив определение (4.5.4), что правая часть (3)
представима в виде
I i/y- да j
4 VldVi ¦
Приходим к выражению
дсц
РИ\==^. (7)
Можно было бы избежать этих вычислений, вспомнив представления компонент
акустического тензора (4.12.11), когда вектор нормали N определен по (1).
Полученные выражения скоростей вещественны для сильно эллиптического
материала согласно неравенствам (4.12.12),
(4.12.13).
Для материала Мурнагана по гл. 5, § 3, если довольствоваться
приближениями
/1 = 3 + 2й, /2 = 3 + 4й, /3=1+2Й,
о|= 1+26, (s= 1,2,3),
формулы для скоростей поперечных волн приводятся к виду
"cia - 1 "Ь 2бх + (Sj + ба) ^2 + gjj- j (а - 2, 3).
Ро р
(8)
Отличными от нуля оказываются коэффициенты _1_
8',-'з. "и - 4
^оо ' о п1 Ъ1 ^11
(11-8) -J-т (1-1г)-у
т
4
(9)
и скорость продольных волн в том же приближении определяется формулой
?*-/+2 + (у + У+10)6. + (/ + 2^)в- (""
Для полулинейного материала акустический тензор был определен формулой
(4.12.17); сравнение с (4.12.11) приводит при N=ex к соотношениям
a^L_|±a[(i-2,)(",+"j+№-i]. <п)
Скорость главной продольной волны (N = ех) по (7) определяется формулой
= ^]/
Х-|- 2(х
350
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. &
тогда как скорости волн, поляризованных в направлениях е2 и е3,
оказываются по (4) равными
(12)
с12 = У1 l/JL-A* ¦ [(1 - 2у) (ог + о,) -f qva - 1 ]'/г ,
У Р (Ql-I- Qg)
1/ 3X + 2fX,[(1 -2g) K+f.-,) +.qV-2~ 4U •
У рк + ^з)
§ 10. Нейтральное равновесие и устойчивость
Мы ограничиваемся рассмотрением однопараметрического семейства &
состояний равновесия в ^-конфигурации; р- параметр, характеризующий
нагружение, осуществляющее преобразование неискаженной натуральной V- в -
^-конфигурацию.
На поле перемещений u = R - г в ^ -состоянии налагается, напоминаем, поле
виртуальных перемещений tjw^1, qq3), обращающихся по (1.4) в нуль на
части поверхности 02 рассматриваемого объема V. Вторая вариация
потенциальной энер-
гии системы по (2.5), (2.7) представляет функционал над Vw
V г
где 47 - квадратичная форма от Vw, и по (2.4)
(2)
Представление (1), учитывая соотношение
0. • VwT = V- (0- w) - (V • 0) • w, (3)
может быть преобразовано к виду
= (V-0)-wdy + -i^ N • 0-wdO. (4)
v о.
Определения. 1. Положение равновесия S'v назовем устойчивым, если
> 0 (5)
для всех w, не равных тождественно нулю и удовлетворяющих условию (1.4).
Оно неустойчиво при невыполнении этого условия
WT < 0 (6)
для некоторого w, удовлетворяющего (1.4).
2. Положение равновесия сназовем нейтральным, если для некоторого
w=w0, не равного тождественно нулю (w0 ф. 0)
и удовлетворяющего условию (1.4), при р = рй соблюдены урав-
НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ
351
Из определений следует, что "нейтральное равновесие" неустойчиво.
Действительно, W^° - 0 по (4).
Уравнения нейтрального равновесия (7), как следует из принципа
стационарности § 3, выражают формально существование форм равновесия
eS%0, близких к рассматриваемому.
Пусть of р, р ^ р0 - семейство положений равновесия и пусть р0 > 0
таково, что для некоторого е>0 равновесия of р, р? 6(р0 - е, р0),
устойчивы, а <?р, р€(р0> р0 + е),-неустойчивы. Естественно предположить,
что в этом случае
Тогда ?РРа -нейтральное положение равновесия. Действительно, приняв
причем г|_1о (г)) (гп^о -^ 0; отсюда и следует, что коэффициент при г)
равен нулю при любом v -в противном случае согласно (9) при надлежащем
выборе р пришли бы к противоречию с неравенством (8).
Этим подтверждается, что значение р = р0 параметра нагружения является
бифуркационным (критическим) - однородная краевая задача (7) имеет
нетривиальное решение w0; им определяется нейтральное, по принятому
определению неустойчивое, равновесие of Ра тела в ^-конфигурации.
Замечание. ^Принятое определение (5) упрощает, но и обедняет понятие
устойчивости. Можно привести следующую аналогиюДпользуясь им, можно
сказать, что равновесие тяжелого шарика в вершине (0, 0) параболы у = ах2
устойчиво при я>0 и неустойчиво, если а < 0. Но его применение не дает
Предыдущая << 1 .. 286 287 288 289 290 291 < 292 > 293 294 295 296 297 298 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed