Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 29

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 742 >> Следующая

Хеноном и Хейлесом [188] в качестве простого примера нелинейной системы с
несколькими (двумя) степенями свободы. В дальнейшем эта система детально
изучалась многими авторами. К сожалению, в этом примере встречаются
некоторые трудности,
у
Рис. 1.Н. Замкнутые эквипотенциальные кривые (U = = const <1/6) для
модели Хенона-Хейлеса (1.4.4) (по данным работы [291]).
которые не являются типичными для нелинейных систем и требуют особого
подхода. Тем не менее этот численный пример хорошо иллюстрирует
интересующие нас вопросы. Ход потенциала в декартовых координатах х, у
показан на рис. 1.11. Гамильтониан частицы в таком потенциале можно
записать в виде Н = Н0 +еЯ1= Е, где
Н0 = [рх + Ру) Ч ~{х2~т-у2)у (1.4.5а)
8 Н^хЬу-^у*. (1.4.56)
Для удобства масса частицы принята равной единице, а малый
Общий обзор и основные представления
65
параметр е определяется выбором энергии: е - Е12. Если Е
меньше граничной потенциальной энергии U = 1/6, то частица будет
удерживаться внутри потенциальной ямы. Существование инвариантных кривых
в этом случае можно определить по картине на поверхности сечения (у, ру).
В пределе малых колебаний гамильтониан можно записать в переменных
действие - угол в виде (см. п. 1.2в):
Но - ~Ъ (c)2*^2" (1.4.6)
В данном случае частоты колебаний (OjHio, равны единице. Если учесть
теперь слабое возмущение (1.4.56), то полный гамильтониан примет вид
Я = о)1У1 + со2/2 + еЯ1(/1, /2, 0Ъ 02). (1-4.7)
При достаточно малой энергии траектории на поверхности сечения
оказываются замкнутыми кривыми почти для всех начальных условий, за
исключением очень близких к резонансным. Эти кривые можно найти либо
численно, решая уравнения движения, либо путем вычисления интеграла
движения по теории возмущений с учетом членов достаточно высокого порядка
по е (см. гл. 2). Если в разложении взять мало членов, то замкнутые
кривые еще будут получены, но они не будут похожи на численные. С другой
стороны, если в разложении взять слишком много членов, то ответ будет
отличаться от правильного решения, так как ряд асимптотический. Мак-
Намара и Уайтмен [291] вычислили У2 с точностью до второго и третьего
порядков по е для начальной энергии Е - 0,01 и различных начальных
условий. Их результаты показаны на рис. 1.12, а и б. Видно, что в данном
примере члены высокого порядка оказываются очень существенными и даже
изменяют характер движения. Так, наблюдаемые в численном эксперименте
(рис. 1.12, в) траектории, замкнутые вокруг точек А и В, появляются лишь
в четвертом порядке теории возмущений. Необходимость использовать высокие
порядки теории возмущений возникает далеко не во всех системах, близких к
интегрируемым. В данном случае это является следствием двух особенностей
модели Хенона-Хейлеса: 1) невозмущенные колебания линейны и 2) частоты
этих колебаний совпадают. Сравним численные результаты Хенона и Хейлеса с
теорией возмущений Густавсона [171] восьмого порядка (рис. 1.13). Для
энергий Е = 0,042 (1/24) и Е = 0,083 (1/12) возникает впечатление, что
инвариантные кривые существуют везде, а ряд теории возмущений сходится к
правильному пределу. Однако ни то ни другое, строго говоря, не является
верным, поскольку наряду с инвариантными кривыми имеются очень тонкие
стохастические слои, распределенные по всей поверхности сечения и
связанные с резонансами между двумя степенями свободы. Толщина этих слоев
экспоненциально мала по параметру Е~1. Поэтому для ма-
66
Глава 1
лых значений Е слои занимают ничтожную часть полной площади поверхности
сечения и неразличимы на картинках, получаемых
в численных экспериментах.
Для более высокой начальной энергии Е = 0,125 наблюдается три типа
траекторий: простая инвариантная кривая как и при низкой энергии;
многопетлевая траектория, например представляющая цепочку из пяти
маленьких островов, подобная изображенной на рис. 1.10, в, для которой
пересечения "перескакивают" от одной петли к другой, и, по-видимому,
эргодическая траектория (аналогичная изображенной на рис. 1.10, е) с
пересечениями в случайных точках. Для последней траектории переменные
действия не только не являются интегралами движения, но и не могут быть
получены из разложений теории возмущения. С другой стороны, даже для
граничной энергии (Е = 1/6) интегралы сохраняются в малых изолированных
областях фазовой плоскости. Присутствие таких островов устойчивости
означает существование интеграла движения вблизи первичного резонанса,
связанного с частотами невозмущенных колебаний по х и у. Методы
вычисления таких интегралов, а также разме-
Рис. 1.12. Инвариантные кривые на поверхности сечения модели Хенона-
Хейлеса; Е = 0,01 (по данным работы [291]).
а - во втором порядке (по ё); б - в третьем порядке; в - численное
моделирование.
Общий обзор и основные представления
67
:7. - ¦ ¦
. У-------
\.--уW-
7l'i ¦*''
л'.'л -. ". /¦¦¦: ..s':
'Ч ."V ч .¦/
V4';'- • •-?•*> ' ? =1/17 .,V'
/V.'v
.ч.
s.
г
\.Vw'. v-i
4*=s
3 <->.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed