Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 286

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 280 281 282 283 284 285 < 286 > 287 288 289 290 291 292 .. 742 >> Следующая

дс1,
Р) qi = R), в подробной записи приводится к виду
gn
dq1 2 gu ь
Sri йг. lfnr/' \ ¦ / . ' \ t
"9~ 1\8ю8з3 g23g23/ Г2 (-g22g23 + 8ъз8гз) Г3 J,
аг, аг, 1 g,, г/ , \ .// г \ з
~g -833823-7- 8vsg23> Г*2 \g33g22 - g23go3) r3J,
ar2 Llkr аг^_^?з__ Hh-_L8'sir
dq2 2 gu b a<?3 dp2 2 gn u dq3 2 gn 1- '
Интегрирование этой системы в каждом из случаев ос, (31( (32 сопряжено с
преодолением некоторых технических трудностей; оно заняло бы слишком
много места и не может быть здесь помещено. Конечно, оно приводит к
предвиденным формулам.
10. Концентрические сферы (решения четвертого класса). Здесь с2 = с3,
сх=с^2 и мера Альманзи представляется выражением
g = (c32-с3) e1e1 + c3E = gJ.fcR-rR*. (35)
В сферической системе
R - RtR, R1 = eK = e1, R2 = #e0, R3=7?eAsin0
и ковариантные компоненты тензора Альманзи по (1.4.10) оказываются
равными
Bsk
gll = C32, g22 = C3R2, 833 = CsR2Sin2 0, g12=g23=g'31-- 0.
Мера Альманзи-диагональный тензор
g=C3^2R1R1 + c3R2R2R2 + c3/?2sin2 0R2R2. (36)
Функция c3(R) должна удовлетворять шести условиям равенства нулю
компонент тензора Риччи. Его компоненты ^i223, R1231, R2331 -
тождественные иули. Вычисление компонент /?1212, R1313 приводит к одному
и тому же дифференциальному уравнению (г = с3/?2)
Его несложно находимый первый интеграл имеет вид
z'Y~z = CR\ z'%=C2RK (37)
Условию /?2323 = 0 теперь придается вид
4Р4 = гг'2 или 4Р2 = с3г'2
и оказалось возможным удовлетворить всем требованиям интегрируемости,
приняв в (37) постоянную С - 4. Это уравнение, если ввести новое
независимое переменное x-R3, преобразуется к виду
' dz\2
dxj Z 9 •
Интегрируя его, получаем
г3 = (х - А)2 или c3(R) = R~2 (R3 - А)2/к (38)
326
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
В предположении, что деформация радиально-симметрична, имеем
г = r(R)tr, ri = r'(R)er, г 2 = ге6, r3 = rexsin0,
так что по (38)
Ей = г j -Г1 = г'2 (/?) = /?* (Я3 - Л) -4/-\ g" --- r2-r2 = /-2 = (Я3 -
g'33=r3-r3 = /-2Sin20=(/?s -Л)2/з5'П20, gl2 = g-23^g3l- 0. Из первого
соотношения следует, что
г=± Г-^^-=±(^-Л)Ч .) (R3-A)1'
причем удовлетворяются второе и третье (при 0 = ?0) - преобразование
отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (9.22). Принятое
предположение о радиальной симметричности деформации оправдано тем, что
любое решение подлежащей рассмотрению системы уравнений (1.18.12) можег
отличаться от найденного лишь жестким перемещением.
Глава 8
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
§ 1. Равновесие в варьированном напряженном состоянии
Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в
гл. 4, § 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- и актуальной ^-
конфигурациях. Напряженное состояние задавалось или тензором Пиола Р, или
тензором напряжений Коши Т. Уравнения статики в объеме и на поверхности
тела представлялись соотношениями
в и: V-P + p0k = 0, на о: n-P = f^- , (1)
в ЧР>\ V.T + pk = 0, на О: N-T = f. (2)
Частицам среды, находившимся в равновесии под действием сил, массовых к и
поверхностных f, сообщаются в актуальной ^-конфигурации виртуальные
перемещения T\w(qx, q2, q3), ц - малый параметр. Величины в новой ^^-
конфигурации снабжаются крестиком ( )х справа сверху, в частности Rx = R
-f- r)\v - вектор места. Виртуальные перемещения, по их определению
согласующиеся со связями, должны быть подчинены наперед заданным
ограничениям. Например, в несжимаемой среде согласно (1.10.18)
V-w = 0. (3)
На той части поверхности 02 тела, на которой заданы перемещения (6R- 0),
требуется
w = 0. (4)
При задании на всей поверхности О тела поверхностных сил f назначение
вектора w подчинено условию равенства нулю главного момента сил в ^^-
конфигурации, если последняя равновесна. Формулировка этого условия
приводится ниже (см. (21)). Наконец, иногда довольствуются рассмотрением
полей виртуальных перемещений специального вида.
Величина Ф в ^-конфигурации, как условлено выше, в срх-конфигурации
обозначаемая Фх, определяется по гл. 1, § 10 выражением
Фх = ф Г|Ф.
(5)
328
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Включение слагаемого г)Ф обусловлено изменением геометрии ^-конфигурации,
сопровождающимся наложением на поле вектора перемещения u = R - г из v- в
^-конфигурации поля виртуальных перемещений. Но не исключается
возможность внесения в состав Фх величин порядка г), не связанных с ^-
конфигурацией.
Массовая сила к dm в элементарном объеме ^-конфигурации по (5) в '^'^-
конфигурации принимается равной
kx dmx = (к + г)к) dm = к dm -f- г)к dm, kx==k + r)k, (6)
так как dmx~dm по закону сохранения массы. Например, в поле силы тяжести
k^ - i3g, к = 0, а в поле центробежных сил (2.1.6) при неизменившейся
угловой скорости к = -cox(toxw). Далее кх определяется выражением (6), но
не обязательно к - конвективная производная к, так как не исключено
проявление массовых сил, отсутствовавших в ^-конфигурации.
Аналогично рассматриваются поверхностные силы
('UO)x = tdO + r\(tdOY='N-TdO+r\('N>TdOY =
= idO + t]NdO- (Г-f TV• w-VwT• T) = f dO Д- r)N • 0 сЮ
Предыдущая << 1 .. 280 281 282 283 284 285 < 286 > 287 288 289 290 291 292 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed