Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
его частиц параллельны образующей и не зависят от аксиальной координаты.
Декартовы координаты as отсчетной конфигурации служат ее материальными
координатами. Предполагается, что антиплоская деформация осуществлена в
предварительно растянутом Ийлиндре, так что в актуальной конфигурации
декартовы
314 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ _ [ГЛ. 7
координаты xs определяются формулами
х1 - А,-1/2а.1, х2 - Я,-1/2а2, х3 = Ха3 + и (а1, а2), (1)
причем Я- постоянная, а и (а1, а2) - подлежащая определению, дважды
непрерывно дифференцируемая в открытой области поперечного сечения
цилиндра функция, о
Градиент места VR, мера деформации G и ее инварианты равны
VR-(iii1 + i2i2)^-1^ 4 i3i3X+V"i3, (2)
00 / 0 0 \ 0 О
G = VR- VRT -= (ЦК + i2i2) Я-1 4-Я2КЦ +Я {Vuis -f i3V" J -f Vu Vu,
(3)
/j (G) - 2Я-1 + Я2 -j- Vu ¦ Vu,
I2(G) --K-2 + 2K + 'k-1Vu-Vu, 73 (G) -= 1, (4)
а представление Vr имеет вид
Vr - (Vr) ¦= (i,ij + i2i2) Я1/* -f 1313Я"1 - X-'^Vu i". (5)
По (2.4), (2.5) тензор напряжений Коши Т и определяемый по нему тензор
Пиола Р равны
Т= 2 P^VrT-T = 2
<Д7 F Ifh (^]Е F) • F
-Ь/ОЕ,
dl
В три уравнения статики
(6)
V-P = 0 (7)
входят две неизвестные функции р и и (а1, а2); поэтому "анти-плоская"
деформация осуществима не при любом, а только при удовлетворяющем
некоторому условию задании удельной потенциальной энергии деформации
э(/,, /2). В частности, как будет видно из дальнейшего, она осуществима в
материале Муни - Ривлина (4.1). Общий случай рассмотрен Ноулсом (J. К.
Knowles, 1976).
Для материала Муни - Ривлина тензор Пиола (6) по (2) - (5) приобретает
вид
Р = - Я-'/. (0Е + 2С2 Vu. Vu) + 2 (Cl + 'к~1С2) Vu i, +
-К(~'2Я~г2С2-\-Х~'1гр) Vи4-(2ЯC1 4С3 - Я-1/?) ЦК, (8)
J20J АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 315
причем здесь
Я2 -fA^ + Vu-Vu) С2. (9)
На поверхности цилиндра
{= n- Р = - 1/2 (<7П + 2С2п- Vw Vu ) +2 (С, -ф ^_1С2) п • Vu i3 (10)
и из (9) следует, что р -р(а1, а2), если поверхностная сила f
не зависит от а:1. При этом условии уравнения статики (7) приводятся к
виду
О О / о о \
Vq + 2C2V• yVu Vu) - 0, (11)
V2u-0. (12)
Ho no (11)
0/00 \ 0 0 0 00 0 00 V- {Vu Vu) = V2u Vu-f Vu'VVu = Vu-VVu
и уравнениям (11) придается вид
0 0 0 0
Vq -f 2С2 Vu-VVu - 0. (13)
Система уравнений (12), (13) совместна, так как
0 /0 О О N /О 0 \ О О О ООО
V X V Vu ¦ VVu ) - \ V х Vu) ¦ VVu - Vu X V ¦ VV и -
О О \ О О О 00
V xVu) ¦ VVu -Vw X VV2u - 0,
0 0 0 0 0 поскольку VxVu = 0, V2u^=0. Итак, VxVq - 0, как и требовалось.
Пример. Трубка из несжимаемого материала Муни - Рив-лина, ограниченная
соосными цилиндрическими поверхностями радиусов г!, г2 (/у > г2),
помещена между жесткими обоймами.
Наружной обойме (ее внутренний радиус равен /у) сообщено
продольное перемещение с; внутренняя (с наружным радиусом г2) остается
неподвижной - речь идет о резиновой втулке между металлическими
цилиндрами.
Продольное смещение частиц материала трубки по (12)
является осесимметричной гармонической функцией, принимающей значения с
при г = /у и равной нулю при г -г2. Ее выражение имеет вид
u(r) = c\n-^jln^-. (14)
г 2 / '2
Отсюда получаем
0 се 00 с
Vu- -у,-------------------VVu -------------------- (- егег + ефеф)
ln^l г И 1п
Гг г2
q = Яд-2С1 -2 (
316
и по (13)
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
\q = 2С2
Г3 ( In -i-
причем - постоянная интегрирования.
Далее ограничимся случаем отсутствия предварительного натяга (Я=1). Тогда
по (9) и (8)
p = q + 2(C1 + 2Ct)+2CtVu-\u, (15)
А
<?оЕг + С
L
т(егег-ефеф)
¦'•('"ТУ
+ 2 (С\ + С2) (ег'" -f i3er) - -
1п -
г2
+ / <?о + Cg
С"
/ с
г2 In
Г| \-
*3*Е
(16)
Гг ) / \ г2
Поверхностная сила на ориентированной площадке N dO = = VrT-ndo
представима выражениями
ЫО= N-TdO = n-Pdo
и на цилиндрических поверхностях трубки (п ¦= ± ег) равна
fdO
± || Чо +^2
-f-2 (С\ С,) - i31 г,• (in5,
Г,1п^ }
Г 2 /
причем t=l, 2 и верхний знак (+) отнесен к наружной, нижний (-) - к
внутренней поверхности.
Главные векторы этих распределений поверхностных сил, отнесенные к
единице длины в продольном направлении, определяются теперь выражениями
(Яыо) Ц=±4я (Ci+Сг) "V (17)
причем верхним знаком задается прилагаемая к наружной обойме сила,
сообщающая смещение с; нижним знаком определяется реакция внутренней
обоймы. Здесь и ниже при вычислении учтено, что
2л
2л
^ е,.Лр = ^ ^еф = 0.
§21]
Построение универсальных решений
317
На торцах n = ±i3 трубки dO- rdrdy, так что
f dO = +
2 (Сх -f- С2) ¦
L
г In
Г2 ( In - ) j л In -
\
<?0 + ^2
In
Г 2
и продольные силы определяются формулами
Q = л
¦ (rl - rl) + 2C2
ln^i-
i3 j г dr dq>
(18)
Постоянная дй определяется условием отсутствия этих сил
- 2С2
( r\ - r\) In -22
(19)
Тензор напряжений Коши представляется теперь выражением
Т <?о( ^2 ~Ь i,ч*з) "Т [^2 (^ф^ф "^r^r) (2Cj -f- С2) е3е3] ¦
A2 In
+ 2 (С3 С2) (eri3 -f- i3er)
r In -
,+
(20)
Задача об "антиплоской" деформации области, ограниченной извне и изнутри
двумя гладкими контурами, конформно преобразуемыми в круговое кольцо,
сводится аналогичным образом к краевой задаче теории аналитических
