Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 281

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 275 276 277 278 279 280 < 281 > 282 283 284 285 286 287 .. 742 >> Следующая

п-(г) = "/в|ил,/,)|±^1Ц (1.2(11+11), (4)
Го
причем р (3, 3) = р -модуль сдвига в отсчетной конфигурации. Очевидно,
П' (0) = 0;
ГГ (В) <0 при - г% < В < 0; (5)
ГГ(В)>0, 0 < В < оо,
*) Напомним, что э-потенциальная энергия в единице объема отсчетной
конфигурации.
310
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
так что положительная функция П (В) монотонно убывает от оо до 0 при
отрицательных и монотонно возрастает от 0 до оо при положительных
значениях аргумента.
Используемое универсальное решение допускает приложение поверхностных сил
давления, распределенных по внутренней и наружной поверхности трубки. В
(17.4) теперь
и уравнение движения Лагранжа для "обобщенной координаты" В приводится к
виду
Его первый интеграл -интеграл энергии, представляется выражением
Постоянная энергии h - 0, если начальные значения В и В равны нулю. При
постоянных q0, qx и h - 0 уравнение (7) определяет движение находившейся
в покое в отсчетной конфигурации и внезапно нагруженной в момент / = 0
постоянным давлением трубки.
Далее рассматривается пример свободных колебаний (q0=ql = 0) весьма
тонкой трубки из материала^ потенциалом Муни (4.1)
Вычисление, в котором удерживается лишь первая степень б, позволяет
записать интеграл энергии в виде
В колебательном движении х заключено между корнями х0 и х, уравнения
(6)
5^ + П = я/ J [<70 (t) - q1 (0] Bdt + 2h.
(7)
о
4=1+6, 6<1; р, = 2 (С\ +С2).
г о
s rgl РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОЙ СФЕРЫ 311
Независящий от начальных условий период колебаний равен
r - - -^О V Р
V Ур
Соотношения (16.5), (16.10) и формулы § 11 позволяют составить выражения
напряжений.
Задача о колебаниях цилиндрической трубки впервые рассматривалась Ноулсом
(Knowles, 1960); решение воспроизведено и дополнено в книге Трусделла и
Ванга (1974). Исходным соотношением в этих работах служило представление
напряжения oR. Его, следуя формулам (16.5), (16.10) и (11.4), можно
записать в виде
aw = lp(Bln/?* + i-^-)+fi /8) J|±^L^_Po. (8)
ы
Напряжения oR на внутренней и наружной поверхностях трубки r = r0, г = г1
обозначались -q0, - qx- Уравнение (8) приводит поэтому к соотношению
В In ' 52/-L-------^
B + rl 2 Rl
D (л/1 г \ б + 2л3 dr
J ^ (В + г'2)2 Т ~~'
повторяющему, конечно, (6). Представляется, что вычисление, использующее
уравнение Лагранжа, быстрее привело к цели.
§ 19. Радиальные колебания полой сферы
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами
(16.13). С подлежащей определению функцией Л (t) внутренний R0 (t) и
наружный R, (t) радиусы сферы в актуальной конфигурации связаны
соотношениями
А = В3 - rs = RI - r%-= Rl~r\, -r\<A< 00. (1)
Выражение кинетической энергии имеет вид
T = § = fpA2(r0-lt) ¦ (2)
V
Инварианты ^(F), /2 (F) по § 9 определяются формулами
/i = ^ + 2^, /2 = ^ + 2^-. (3)
312 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
тт " dR
Далее R и ^ следует заменить их выражениями
Д = (Л + г3)Ч ^4=з^2 (4)
и потенциальная энергия деформации представляется выражением
^1
П(Д)= 4л J 9(7,, /s)radr.
Го
Это-положительная функция, равная нулю в отсчетной конфигурации Л = 0;
при А-г-Го и Л-^оо, П(Л)->оо. Выражение ее производной приводится к виду
г о
Кат+^1) №' + r'> W' <5>
Го
откуда, предположив выполнимость эмпирических критериев (5Л1.3),
заключаем, что П (Л) монотонно убывает при отрицательных и монотонно
возрастает при положительных Л, имея единственный равный нулю минимум при
Л = 0.
Уравнение движения представляется выражением
12Д|нК- + г-)(|ЦД =
= 3(q0 - q1) (6)
и, конечно, его можно получить по уравнению аналогичному (18.8), в
котором теперь согласно (9.24)
г, t
oR = - р? + 4Л $э(/1; /2) r2dr = 6 J [?о(0 -Д (К)] Л Д + /г, . (7)
Г" О
а ? определено формулой (16.10).
Интеграл энергии приводится здесь к виду
о 7
Р^2 + 18 j 9 (7i> 7з) r2(ir = 6 j [tj0 (0 - ?7i (t)] A dt + h.
r0 0
(8)
Задача была рассмотрена Гуо Шонг-Хен и Солецким [7.14], решение
воспроизведено в книге Трусделла и Ванга. Исходным
§ 20] АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 313
соотношением служило уравнение (19.7). Для сферической оболочки весьма
малой толщины г? = Го(1 +б), б<^ 1; сохранив в (8) лишь линейные по 8
слагаемые, имеем
J Tr = ^-<*+l>~V'* h)r*dr = ^-z(n,Il), х = 4,
R 0 Rl 6ro J J r0
г о
причем
П--=^г + 2-?1--=(\+х)-*/' + 2(1+ху/',
R о Г 0
П = Щ- + 2^=(\+ху/' + 2(\+х)-2'к
r 0 R 0
Уравнение (8), если ограничиться рассмотрением свободных колебаний,
приводится к виду
рф2 (1 + х) -'/. + 18э (7(r), II) = = Е = const,
б Г0
причем -1 < х < оо и отмеченные выше свойства функции П (Л) позволяют
утверждать, что при любом Е > 0 уравнение
? - 18з (/J, II) -0
имеет два и только два вещественных корня х0 <0, хг > 0. Движение
представляет колебание в этих границах х0 хлу с периодом
*1
- Г dx
Т -2r0j/p j (1 + x)v3/^Z7[7f^0) • (9)
*0
Например, для неогукова материала __
T = |^(1+X)V,_[1+2(1 +x)2]}",/2dx. (10)
§ 20. "Антиплоская" деформация в несжимаемом материале
Деформацию цилиндрического тела называют "антиплоской", если перемещения
Предыдущая << 1 .. 275 276 277 278 279 280 < 281 > 282 283 284 285 286 287 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed