Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
что напряжение t22 < 0 (сжатие) на сдвигающихся (по оси ОХ) плоскостях а2
= const; t11 > 0 (растяжение) на*"плоскостях а1 = const.
Аналогично можно убедиться в осуществимости простого сдвига, когда не
нагружены нормальными к ним силами грани а1 = const или а2 = const.
3. Плоское напряженное состояние. Плоскости, нормальные главному
направлению е3 тензора напряжений, не нагружены; тогда
Эти формулы подсказывают возможность определения э {11, /2) в
последовательности экспериментов, проводимых в плоском напряженном
состояниии.
В опытах Ривлина и Сондерса (R. S. Rivlin, D. W. Sounders, 1951) над
пластинками из сортов резины, не обнаруживавших явлений гистерезиса даже
при четырехкратном увеличении линейных размеров (у,, у2^4), [измерению
подвергались напряжения при деформациях, когда один из главных инвари-
p = 2^ + 2(2 + s2)§-.
(4)
получим
tu-=2^-s2, t22=-2~s2, t33 = О
dli dl..
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
283
антов сохранялся постоянным, а другой подвергался изменению в достаточно
широком диапазоне. Программа испытаний предусматривала значения 1г, /2 в
пределах 5 /х ^ 11, 5^С/2^30. Было обнаружено, что напряжения мало
чувствительны к изменению /х и значительно зависят от /2; наблюдения
проводились при деформациях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого
сдвига с наложенным растяжением. Основываясь на этих опытах, Ривлин и
Сондерс рекомендовали корректировать потенциал Муни (4.1) выражением
(4.6).
§ 8. Универсальные деформации несжимаемого материала
В основополагающих работах Ривлина 1948-54 гг. были найдены строгие
"универсальные", иначе говоря, не требующие специализации ^задания
удельной потенциальной энергии э(/х, /2) решения_некоторых задач механики
несжимаемой сплошной среды.
В гл. 4 § 15 приводилось доказательство Шилда теоремы Эриксена (1955) о
несуществовании универсальных решений уравнений равновесия нелинейной
теории для сжимаемой упругой среды при преобразованиях отсчетной
конфигурации в актуальную, отличных от аффинного. Несколько ранее (1954)
в тщательном и трудном исследовании Эриксена было обнаружено четыре
класса (нелинейных) преобразований, допускающих универсальные строгие
решения для несжимаемого упругого тела (они включают, конечно,
рассмотренные Ривлиным задачи). Еще один класс преобразований был
обнаружен позже Шилдом и Клингбейлом (W. W. KHngbeil, R. Т. Shield,
1966;. По-видимому, этим исчерпаны возможности построения универсальных
решений уравнений равновесия несжимаемого упругого тела.
Речь идет здесь о решениях уравнений равновесия несжимаемого упругого
тела при отсутствии массовых сил
V-T =^Vp + V.r? =
~-vp+2(f-v|L-f->.v^+*v.f-*_v.f-) = o, (1)
сохраняющих вид при любом задании а(/х, /2) и, конечно, удовлетворяющих
условиям существования вектора места R (q1, q2, q3) в актуальной
конфигурации - соблюдено требование обращения в нуль тензора Риччи для
меры деформации Фингера (или Альманзи). Поверхностные силы,
осуществляющие найденное равновесное состояние, определяются по этому
состоянию, когда оно Получено. Нет речи о решении наперед заданной
краевой задачи.
284 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [гл. 7
В более подробной записи уравнения (1) имеют вид
v.t^-vp+2[(||vJ, + 5]5_v;!).f+Av.f-
//32 г> /3 2 ^ \ /Зэ
= 0. (2)
у/ л.^.у/ Vf-1--v-f-1
dhdl,1^ д,1У1*) г dl, г
С целью исключить из рассмотрения неизвестный скаляр р составляется
уравнение
V X V • Т -- 0. (3)
При этом, конечно, VxVp = 0, а вычисление остальных слагаемых,
представляющих произведения скаляра на вектор, основывается на правиле
V х фа т= (Уф) х а +¦ cpV х а.
Например,
Vx||v/1.F=y^xV/1.F + gVx(V/1.F) =
~ VI, + -^-2 V/2\ X V/, ¦ F + -2- V х (УД • F).
,dll д1гд1{ V dll
Уравнение (3) представляется теперь выражением ^ VI, X (VI, ¦ F) V/2 х
(V/2 • F -1) +
dli dl2
а/? а/
[V/2 x (V/,. F) + VI, X (VI2. F) - V/x X (VI, • F-1)] +
2
д*э
. ^2[v/2x(v;2-f)-v/2x(v/1-f-i)-v/1x(v/2-f-i)] +
011 и 12
+ ^(Vx(V/x-F) + V/xxV-F)-
dl,
-5- (Vx(V/2.F-1)+W2xV-F-1) +
012
4 ^/2 (V X (V/2. F) + V/2 X v. F - V x (V/x • F-1) - V/x X v • F-1) +
тэг VX V - F - 4j~Vx У • F-1 = 0. (4)
o/i 0/2
Для универсальных решений, не зависящих, как говорится выше, от формы
задания удельной потенциальной энергии от инвариантов, это соотношение
будет выполнено лишь при равенстве нулю всех коэффициентов при
производных э; приходим к
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
285
системе уравнений
V/1x(V/1-F) = 0, V/2x(V/2-F-1) = 0, (5)
V/2 х V (/, • F) + V/x x (V/2 ¦ F) - V+ X (V/j-F-1) = 0,
V/xX (V/2• F-1) + V/2 X V• F"1 - V/2 X (V/a ¦ F) = 0, W
Vx(V/1-F) + V/1xVF = 0, VxfVij-F-^+V/jXV.F-^O, (7) V x (V/2 • F) + V/2 x
V • F - V x (V + ¦ F-1) - VJi x V- F"1 = 0, (8) V x V- F = 0, Vx V - F_1
= 0. (9)
К ним присоединяется условие несжимаемости
/з (F) = 1
и шесть условий равенства нулю компонент тензора Риччи (111.10.21),
выражающихся через компоненты gsk, gsk искомых тензоров F и F_1 = g.
Существенным условием является также выполнение неравенств,
