Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
d2U
Далее по (6), и (5),, поскольку -----------= вещественно
dz dz
Г z г
2 d2V,
дг дг
Г LJ dz dz J dz2 gz
¦<* [№)'+(%)¦] + (z>+§ +111't -
dDn dDn , , , . , , ,-r
+ ^ IT~dt + ф1 ^ + ф1 ^'
?6l
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
279
После интегрирований с использованием (5)2 и учитывая, что по (7)2
дЮп " дЮ0 _ 0
dzdz2
= 0,
3z 3z2
получаем d*Ut
dzdz
- у [Ti (z) + (Pi (г)] + у И*
3D,
аДо n _ __________
3z3z ° ^ 3z3z 0
_SD3dDo dz dz .
(9)
и еще одно интегрирование по г приводит к искомым представлениям
^ = у [ф1 (г) + (z) + 'Фх (г)] + у рГ (г, г), (Ю)
нА^Т ["Pi (г) - гф! (z) - t|3i(z)] +Г (г, г), (11)
Г (г,
(12)
2. Потенциалы фх (г), ^ (г) определяются решением линейной
краевой,задачи для второго приближения. Осуществление этой программы
достаточно хорошо разработано; требующееся вычисление кропотливо.
В исходном приближении и в эффектах второго порядка напряжения
определяются по (5.38), (5.39) выражениями
1 Л2// ________
т (сел + oxi)° = 2 -± фо (г) + фо (г),
d2Un
dz2
dz dz
-2p
dDa
dz
2 (вх* ~~ ox> -f- 2hxiX2)° - 2
j fax* + ox>)1=2 ^4 = (p[ (z) + ф( (г) + p ^ dz dz
1 d2Ui - эг <7 7\
¦J (oX2 - axi + 2ixx*x*)1 = 2 = ztpi (z) + ф; (г) + p -?-2 ¦
По (5.38) или (5.30) получаем также
2фЛг) + Фо (г),
(13)
/32Р
=°А,
32D"
\3zdz 0 dzdz dD0 3D о 3z <?z
(14)
P~ P° У-р1 = ( -2
,d2[/n
dzdz
+
,cWt
3z 3z
- + 2 (p + v) -4
3Dn 3Dfl
d~z dz
(15)
3. Известно, что краевая задача о напряженном состоянии в области при
задании нагружения по ее границе может быть
280 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ (.ГЛ. 7
сведена к функциональному уравнению 4 [(сГлА + Ох*) п - (охг - Ох* -
2iXxix*) п\ =
= [Ф (г) -f Ф (г)] д -[гФ' (г) -f'F (2)] п ~ -/. (16;
Здесь Ф (г) = <р' (г), Ч1- (г) = я|/ (г) - "вторые" потенциалы Мусхе-
лишвили, д - внешняя нормаль к контуру области, / - распределенная
статически эквивалентно нулю поверхностная сила. Представив входящие в
(16) величины суммами вида (3) величин, отнесенных к линейной задаче и к
эффекту второго порядка, примем, что решение линейной задачи определено
краевым условием
[Ф0 (г) + Ф0 (г)] п - [гФо (г) + (г)] п = - /. (17)
Эффекты второго порядка теперь разыскиваются по краевому условию
-j(ox*+ox*y п--j- (ох* - ох* -J- 2ixxix*)1 д = 0, (18)
в котором напряжения ох* и т. д. определены формулами (14). Приходим к
функциональному уравнению вида
[Фх (г) +ФХ (г)]п - [гФ( (2) + ^ (г)]д = д/5 + nQ, (19) в котором Р и Q,
согласно (14), определены формулами
г \5г5г дг дг дг
( d2D0 -=г 52?>0 " п 5D0 сЮ0
5г дг
(20)
- была использована формула (10).
Система "сил" в правой части (19) должна быть статически эквивалентна
нулю. Как уже говорилось в (гл. 6, § 14), достаточным условием обращения
в нуль ее главного вектора служит одно из равенств
dZ + f = 0, -^ + ^ = 0. (21)
дг дг дг дг
Если оно соблюдено, то будет выполнено и требование равенства нулю
главного момента
Р-Р = 0, (22)
так как Р вещественно по (20).
Проверка критерия (21) громоздка. После подстановок, дифференцирований и
упрощений с использованием (5)2 приходим к
§7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИИ В НЕСЖИМАЕМОМ ТЕЛЕ 281
условию
дЮп , дЮ0
Нг^ = 0,
dz dz dz'
которое выполняется по (7)2. Необходимое условие разрешимости краевой
задачи (19) соблюдается.
§ 7. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
в несжимаемом упругом теле
1. Линейное напряженное состояние при одноосном растяжении. Главные
значения меры деформации Фингера и ее инварианты равны
v\ = v2, Il = v2 + 2v~1, /2 = 2v + v~2, /3=1 (1)
и по (2.8) выражениям главных напряжений as придается вид
о,-о,--р + =
".¦=-р+2(ят"'"^""г)' (2)
Исключение из них давления р приводит к "закону растяжения" сц - (о) и
представлению главной силы t1=t1(v) форму-
лами
/, = 2 ("-"-) (3)
Из (2) следует, что при любом задании v можно подчинить
выбор р условиям а2 = (т3=0; это приводит к заключению, что
любому наперед заданному ц соответствует единственное значение напряжения
сц.
В соответствии с ^<^-критерием (4.12.12)
Оу O'2 _ Оу-Од _ СТу
v\ - vl v\ - v\
>0,
у V
sgn ot = sgn (v - -y=^j = Sgn {Vv - 1),
но Vv-l> 0 при удлинении, Vv-1<0 при укорочении стержня; иначе говоря,
при растяжении стержня (ох > 0) его Длина увеличивается, при сжатии (оу <
0) уменьшается. Основываясь только на 33$-критерии, нельзя было бы
утверждать, что это "тривиальное" утверждение распространимо на изотроп-
ный сжимаемый материал.
282
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
2. Простой сдвиг. Осуществление этой деформации (гл. 6, § 4) в
сжимаемом материале требует приложения нормальных напряжений по всем
граням деформируемого параллелепипеда, в их числе напряжения /33,
перпендикулярного плоскости сдвига. В несжимаемом материале простой сдвиг
осуществим при отсутствии нагружения этих граней. Действительно, принимая
и в соответствии с (6.4.7) формулы, определяющие нормальные напряжения в
несжимаемом материале, приобретают вид
- не требуется нормального нагружения в плоскостях а3 = const. Из этих же
формул и эмпирических критериев (5.11.3), приемлемых для резин, следует,
