Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
нерастяжимыми нитями. Уравнению связи (4) по (1.4.2) может быть придан
вид
y(G) = e-G-e-1 = 0, (14)
256 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
О
где е -единичный вектор, задающий направления нитей в отсчетной
конфигурации. Сам материал ("матрица") изотропен. Нетрудно
понять, что вектором е определяется одно из главных направлений тензора
меры деформации G, а соответствующее этому направлению собственное
значение равно 1. Это следует из определения главных направлений (1.9.1)
тензора
Ge=A,e, e-Ge=A,
о
и этому соотношению по (14) удовлетворяет е = е, А, = 1. По (1.9.7),
(1.9.8)
рз (1) = - 1 + Л (G) - /2 (G) + /3 (G) = 0, /2 (G) = I, (G) + /3 (G) - 1
(15)
и удельную потенциальную энергию э можно считать функцией, скажем, /1( /3
Э (/!, / 2, /3) = Э (/j, /j + /3 - 1, /3).
Определяющее напряжение по (4.3.4) оказывается равным
Те = 2 Ц- (ФоЕ+ФгР + ФзТ2)/^/^/,-!.
причем фг находится по формулам (4.3.5), в которых /2 следует заменить
его значением (15).
По (II.3.8) и (10) тензор напряжений связи представляется выражением
о о г- о ООО г- _
7о = ее, Ts = 2 у ?iVRT-ee-VR = 2?i ]/ -J ее,
причем е - единичный вектор направления нитей в актуальной конфигурации -
см. (1.4.17) и (14).
Уравнению состояния придается вид
Т = 2 j/^ (Aee + ^E + ^F -M|>2F2)/2= /,+/,-!,
а уравнение связи можно записать также в виде о о
е • G • е = е • Vr • G • Vrт • е = е • е = 1, Gskesek = 1.
Здесь eh - контравариантные компоненты е в векторном базисе актуальной
конфигурации.
Конечно, здесь имелось в виду, что связь (14) - удерживающая, иначе
говоря, приведенные соотношения неприменимы, если
о
материал матрицы сжат в направлении е,
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
257
В нерастяжимом в трех взаимно ортогональных направлениях е1( е2, е3
материале все три собственных значения G равны 1, G = Е, деформация
отсутствует, "материал" по (1.4.23) представляет абсолютно твердое тело.
Тензор напряжений связи есть
а! потому тензор напряжений остается полностью неопределенным.
§ 2. Несжимаемый упругий материал
Этот "материал с наложенными связями" представляет наибольший интерес.
Несжимаемой с достаточным приближением можно считать резину--важнейший
объект исследований нелинейной теории упругости -этот "наиболее упругий
из упругих материалов, не поддающийся исследованию средствами линейной
теории упругости" (Трусделл).
Любой элементарный объем несжимаемого материала остается неизменным при
деформировании. По (1.8.1) и (1.4) уравнение связи имеет вид
В представлении удельной потенциальной энергии несжимаемого материала /3
=1 и для изотропного материала
Конечно, р - неизвестная наперед функция материальных координат (и
времени в динамических задачах), определяемая из уравнений равновесия
(движения), при условии несжимаемости. Аналогична ситуация в
гидродинамике несжимаемой гжидкости; в ней, как и в несжимаемой упругой
среде р-"-давление. Роль уравнения связи отходит к уравнению
неразрывности (1.14.13).
9 А. И. Лурье
V(G) = /3 (G) - 1 = О
(1)
и по (II.3.2), (1.12) Vg = /3(G)G-1 = G-1,
(2)
э(11, /2, /3) = э(/1, /2).
(3)
T = Ts + TE = -pE +2^ + 24^
(4)
причем, согласно (4.3.5),
)з(/:, /2), ф
шг *(/!,/,). (5)
258 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ, 7
При обозначении главных удлинений ох, и2, о3 инварианты мер деформации
Коши G и Фингера F представляются формулами
I1 = vl + v\ + vl, /3 = ф2 + Фз + Ф1 = И1_2 + и2'2 + У3"2, (6)
так как в несжимаемом материале
I3=vlvtv23==\. (7)
Представление тензора напряжений (4) может быть записано и в виде
т=-?Е+2 ^F-2^F- (8)
- были использованы преобразование Гамильтона - Кэли
f2 = /1f-/2e + f-1
формулы (1.9.22), а р + /2ф3 снова обозначено р.
Из уравнения связи, записанного в виде i/xu2n3 = 1, следует соотношение
&з_=0. (9)
vr Vi Уз
Используя его и вспомнив определение главных сил tk, имеем
^=1 A=iv я д 7
Главные силы и главные напряжения ak представляются теперь формулами
. р . (Зз . дэ щг /,
°k= - P + vkpu;- l0°)
Уравнениям равновесия в объеме и на поверхности придается
вид
V-T = V-Ts + V-Ti, + pk = -Vp + V.Tif + pk = 0,
f = - pN + N-T?. (11)
Вариации 6R вектора места ненезависимы; по (1.5) и (2) они связываются
соотношением
6/3 = 2G-1 • VR • -SVRT = 2VrT- • 6VRT = 2VrT- • (V6R)T-VRT=
= 2E.-V6R* = 0 (12)
- были использованы преобразования (2.8.4) и правило свертывания. .?
Вывод принципа стационарности потенциальной энергии системы никак не
связан со свойствами материала. Поэтому и для
§ 2]
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
259
несжимаемой среды этот принцип сохранит вид (4.16.8); когда р = Ро> Vg/G
- 1, он представляется соотношением
6
SSJ (9-p0k.R)dK-JSf.Rdo'
L V О,
¦ 0.
(13)
Но теперь при варьировании должно быть учтено наличие связи (1).
Варьируемому функционалу придается вид
W
(14)
причем вариации 8R связаны соотношением (12) и по (III.3.10) 6 Ш iР {/з~
1} dV = Ш рЕ" V6RT ^ = j J J [V ¦ (рЕ • SR) -
V V V
- Vp-8R]dI/=$$ Nj0-8RdO-JJJ Vp-6Rdl/ (15) о, * г
(8R = 0 на части поверхности 02, на которой заданы перемещения). Поэтому
