Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 266

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 260 261 262 263 264 265 < 266 > 267 268 269 270 271 272 .. 742 >> Следующая

= 0,58.
t11 = 0,26, /22 = 0,54, /33
А1 /22 /33
В опытах Зеегера (A. Seeger, 1960) было получено для одного из сортов
стали
- =1,39, 1,6,
(X [X ' '
и по (14) оказывается
11
= -Ю,1,
- = - 22,7
= 0,47, /22 = 0,66, /33 = 2,11
/22 /33
Неприемлемость "физически-нелинейной" теории - следствие как этих
экспериментально обнаруживаемых результатов, так и перечисленных выше
ошибочных предпосылок самой теории. Можно также добавить, что процедура
вычислений физически-нелинейной теории не имеет и преимущества простоты
по сравнению с описанными в §§6-10 правилами расчета "эффектов второго
порядка".
Глава 7
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
§ 1. Упругий материал с наложенными связями
1. Во всем предшествующем предполагалась способность материала как
угодно деформироваться под действием надлежащим
о
образом выбранных сил. Градиент места VR и определяемые по нему меры
деформации считались произвольными достаточно гладкими функциями
материальных координат. Но оказывается целесообразным рассмотрение
моделей материалов, наделенных способностью не допускать некоторых
деформаций, каковы бы ни были приложенные к телу силы -материалы с
наложенными связями. Несжимаемая жидкость - классический пример этих
материалов.
Связь задается условием, налагаемым на градиент места
v(VR) = o. (1)
Это свойство материала должно удовлетворять принципу материальной
индифферентности (гл. 3, § 2); иначе говоря, скалярная функция у должна
сохранять вид при любом ортогональном преобразовании
VOco: у (VR) = y(VR-O) = 0. (2)
о о
Заменив VR его полярным представлением VR = UOx и принимая О - Охт,
придем к соотношению
у (VR) = у(U-Ox -Охт) = у (U) = О, (3)
являющемуся решением функционального уравнения (2). Итак, сохранив
обозначение уравнения связи буквой у, имеем
y(VR) = y(U) = y(GV2) = y(G) (4)
о
при всех VR. Отсюда, вспомнив определение (II.2.7) производной скаляра по
тензору и сославшись на (II.3.5), имеем
бТ = Y (VR + SVR) - у (VR) = у0 • • 6VRT = 2у0 • VR • • 6VRT = 0.
VR
15)
254 Несжимаемый упругий материал [гл. 7
2. По (2.7.5) удельная элементарная работа &'аи) внешних сил, равная
вариации удельной потенциальной энергии э, представлялась сверткой
б'а(е) = бэ = э0 •-SVRT= Р--6VRT = 29G-VR-• 8VRT (6) VR
и из этого соотношения, как условие произвольности вариаций
о
SVRT, следовало представление тензора Пиола в форме произ-
/ ° \ о
водной э по VR. Теперь же следует учесть связанность
о
вариаций SVRT условием (5). Хорошо известный прием введения лагранжева
множителя Я позволяет записать (6) в виде
8э = 2 (э0 + Яу0) • VR • • 8VRT = Р • 8VRT (7)
о
и вновь считать за счет выбора Я вариации 6VRT независимыми. Это
позволяет представить тензор Пиола в материале с наложенными связями в
виде
Р = 2 (эо Яус.) • VR = Р? -]~ (8)
причем в задании э должно быть учтено уравнение связи (4). Подобно
известной в общей механике классификаций' сил на задаваемые (активные) и
реакции связей (реактивные силы), тензор представлен здесь суммой
слагаемых: "определяемого" по э напряжения Р? и реактивного Ps
P?=29G-VR = 90 , Ps=^y0-VR= Яу 0 . (9)
VR VR
Аналогично разбиение тензора напряжения Коши на "определяемое" напряжение
Т? и "напряжение связи" Ts
T = T? + TS, ТЕ= У -§ \Ю-Ре=2 У| VRT-aG-VR,
Т5 = 2Я j/-§ VRt.Yg-VR. (10)
Сказанное обобщается без труда на случай нескольких связей Y,.(G) = 0 (i
= 1,2, ...,s). (11)
Введя лагранжевы множители Я1Р Я2 Xs, получим
УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ С НАЛОЖЕННЫМИ СВЯЗЯМИ
255
В число подлежащих рассмотрению уравнений включаются уравнения связей
(11), чем компенсируется вхождение такого же числа неизвестных klt к2,
..., ks.
3. Удельная мощность напряжений связи, определяемая сверткой тензора
напряжений с тензором скорости деформации D по (2.7.12), (1.10.10),
(1.13.10), равна
Ts D = 2 )/§¦ 7iVRT-y0-VR--D =
= 2|/| TiyG- -VR-D-VRT= у I kyQ--G.
И так,
TS-D=/|^"G = j/f Ay(G) = 0, (13)
таккаку(О) = 0- уравнение связи должно выполняться при всех t. Удельная
мощность напряжений связи оказалась равной нулю. Этим на механику
сплошной среды распространено понятие идеальных связей общей механики.
Доказывается обратное предложение: если соотношение (13) выполняется во
всех допускаемых связями движениях (для всех D), то тензору Ts должна
быть придана структура (10). Действительно
G = 2VR D VRT, 2D = Vr G VrT,
V •D = yTr ¦Vr-G-Vrr = -i-Wr-Ts-Vr- G.
Вместе с тем по уравнению связи
у (G) = 0, у0 • • G = 0
и введя лагранжев множитель -kj/"'Ц-, получаем (vrT-Ts.Vr-2?i]/-| уо) • -
G = 0, VrT-Ts-Vr = 2A|/|- у0,
откуда снова приходим к (10). Распространение на механику сплошной среды
соотношения (13) позволяет прийти к представлению тензора напряжений
связи, не используя понятия об удельной потенциальной энергии деформации.
Допустимо, иначе говоря, рассматривать "упругий", а не "гиперупругий"
материл.
4. Одним из примеров наложения связей может служить материал с
вмонтированными в него в одном направлении и с достаточной плотностью
Предыдущая << 1 .. 260 261 262 263 264 265 < 266 > 267 268 269 270 271 272 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed