Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 26

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 742 >> Следующая

вида (1.3.70), поскольку невозможно рассмотреть все типы инвариантов. С
другой стороны, если существует инвариант невысокой степени по р (как,
например, р3 для цепочки Тоды), то его можно найти и, таким образом,
доказать интегрируемость исходного гамильтониана. Однако для систем с
более чем двумя степенями свободы подобная техника не проходит даже для
ограниченного класса инвариантов.
Недавно был предложен еще один метод проверки динамической системы на
интегрируемость, использующий так называемое свойство Пенлеве. Последнее
означает, что все подвижные особенности решения в плоскости комплексного
времени являются только простыми полюсами. Подвижными называются
особенности, зависящие от начальных условий. Абловиц и др. [4] показали,
что существует тесная связь между уравнениями в частных производных,
имеющими солитонные (интегрируемыех) решения, и соответствующими им
обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством
Пенлеве. Сегур [366] продолжил эти исследования и показал, что модель
Лоренца для диссипативной системы (см. § 1.5), обладающая в общем случае
хаотическим по-
*) Существования солитонов, вообще говоря, недостаточно для
интегрируемости (см., например, [459]).- Прим. ред.
58
Глава I
ведением, оказывается интегрируемой1) как раз для тех значений
параметров, при которых уравнения обладают свойством Пенлеве. Ряд хорошо
известных примеров гамильтоновых систем был рассмотрен Баунтисом и др.
[37]. Полученные результаты опять-таки подтверждают точное соответствие
между интегрируемостью и свойством Пенлеве. Хотя это и не доказано
строго, однако, по крайней мере для систем рассмотренного класса (две
степени свободы и квадратичный по импульсам гамильтониан), накопилось уже
достаточно много данных в пользу такого соответствия 2). В принципе этот
метод применим и к системам более высокой размерности, хотя для них это
соответствие еще не проверено.
Один из методов нахождения специальных интегрируемых гамильтонианов
состоит в выборе гамильтониана определенного вида, зависящего от
некоторых произвольных параметров, и подборе таких значений этих
параметров, при которых имеет место свойство Пенлеве. Например, для
обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса (1.3.58)
Я = -L- (х*+У2 + Ах2 + By2) + х2у + у*-
L о
из этого условия удается определить параметры р, А и В [37 J. Такая же
задача была решена Холлом [174] с помощью метода Уиттекера (с
инвариантами до 4-го порядка) в применении к обобщенному гамильтониану
Хенона-Хейлеса. Оба подхода дают следующие условия интегрируемости:
а) р = 1, А - В,
б) р = 6, 4 и В любые,
в) р = 16, В = 16Л,
которые были проверены прямым вычислением. Неизвестно, однако, существует
ли какая-либо фундаментальная связь между методами Пенлеве и Уиттекера.
Как известно, системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы, а
системы с двумя степенями свободы - как исключение. Что же произойдет при
дальнейшем увеличении числа степеней свободы? Как уже отмечалось выше,
даже нахождение отдельных интегрируемых потенциалов становится в этом
случае очень трудным, чтобы не сказать невозможным. Однако, как показано
в § 6.5, область фазового пространства, занятого регулярными тра-
1) Под интегрируемостью диссипативной системы здесь понимается, по-
видимому, существование простого аттрактора - устойчивого фокуса или
предельного цикла.- Прим. ред.
2) См., однако, работу [460], где показано, что для сохранения
соответствия с интегрируемостью свойство Пенлеве необходимо
модифицировать. Дальнейшие исследования этого вопроса см. также в работе
[461].- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
59
екториями, может как возрастать1), так и уменьшаться при увеличении числа
степеней свободы. Примечательно, что при переходе к системам, описываемым
дифференциальными уравнениями в частных производных, которые имеют в
некотором смысле бесконечное число степеней свободы, снова обнаруживаются
большие классы интегрируемых систем. При этом, как обсуждалось выше,
уравнения в частных производных, имеющие солитонные (интегрируемые)
решения, можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям,
обладающим свойством Пенлеве. Для дальнейшего обсуждения методов решения
и соотношения между дифференциальными уравнениями в частных и
обыкновенных производных мы отсылаем читателя к специальной литературе
[249, 366].
*§ 1.4. Системы, близкие к интегрируемым
Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких
гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения
интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к
интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного
гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно,
неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью
свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к
автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу.
Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed