Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
деформации, если заменить % величиной
(35)
л + 2ц
222 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Действительно, по (33) и (34) требуется, чтобы
[?' I °|Л (п 2Д' + р)\ 4ц (к + ц) / 3^, + 2ц \
(А -j-хц) yq я, + 2ц ) X + 2ц \q 2 (% + $)}'
иначе говоря,
у I о.. 4ц(А + ц) ,, ЗЯ+2ц
Л + Д4- Я + 2ц ' А+^^Т+ДГ'
Оба эти соотношения удовлетворяются, если определить X' по (35) (или при
замене v на v/(l+v)). Известно, что такая же связь между постоянными в
законе упругости соблюдается в линейных плоских задачах.
3. При преобразовании поворота z = ?e10, 0 = const по (12)
dz dz iy 0 ,'п
-=г _ о 2 - = ge'x = 2eiu,
dt, и' as 4
х
V G=\
и \|)(<7) = 2jx по (16) при с = 1. Формулы (26), (27), как следовало
ожидать, дают щ = ст2 = т12 = 0.
При ф(<7) = 0, q = (\- v)_1 из тех же формул находим 0!
= о.2 = - 2ц, т12 = 0 - среда находится в состоянии гидростатического
сжатия интенсивности 2р.
§ 9. Изгибание полосы в цилиндрическую панель.
Деформирование полого цилиндра
1. Рассматривается деформирование параллелепипеда
- -b^Za2^.b, -l^a3^l
в цилиндрическую панель
г о г г i, -а<ф^а, -1^а3^1
- ее внутренний и наружный радиусы равны r0, rt, центральный угол 2а;
предполагается, что предотвращено смещение торцов а3 = + / в продольном
направлении. Изгибание в панель осуществляется распределением изгибающих
моментов по краям панели ф -±а (в отсчетной конфигурации по краям п2 =
±ф)' Цилиндрические поверхности г-^г0, г = гг (в отсчетной конфигурации
грани a}^- + h) свободны от нагружения.
Преобразование описывается формулами
z = х1 + tx2 = С (а1) е ь =ге1'ч), х3 = а3,
(О
ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА
223
Так что г -~\z\ - C (а1), ф = а -- значениям а2 = ±6 соответствует
азимутальный угол ф= + а. По (8.12)
о dz_ dz . dz ____
Ж,~~да^~1 да? ~~
С' (а^)+~С(а3)
откуда по (8.16), (8.18) имеем
q^C' {а})+~С{а}),
Ф' (О--: (X + 2Y \с У) +" C(fl1)-( 1-V)-3
b == qea,
¦ O'
t-7 а2 b
и дифференциальное уравнение, определяющее С (а1), получается из условия
да2
Его решение при краевых условиях
O' (-/г) - /"о, С (7i) г 1
записывается в виде
Id-v)-1-
(2)
(3)
, сш1 ch --
b
с ^ = у IL(ri + Го) +(ri _ Го)
sh-sh у
+
а (1 -v)
ch
а a1
ch у
Г
ah
(4)
Неизвестные радиусы панели определяются условиями отсутствия нагружений
на поверхностях а^ + А. По (5.20) при /= 0, ds-±;da2 получаем
dz
21*78==Ф'(?)§: 2ц^С(±А) = (^+2ц) С'(±ft) + ?C(±h) и по (4)
ri + r0^2^, r,-r0 = 2^ thy.
(5)
Теперь С (а1), С'(a1), q, ф (q) представляются выражениями
224
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Компоненты /N, fs напряжения на площадках а2 = + Ь определяются по
формулам (8.29), (8.30); на этих площадках
ds = =fda\ = (а')е-'\ Ф'&) = Ц(д)е%
§=с'и-
Получаем
. а а1 , v . а а1 \
СП -г- + 1 sh -г- =
b 1-v b )
Е 1 gjy(r)0'
1 -v2 ch у ' b 1 fs = 0 (E = 2|*(1 +v)) (7)
- касательные силы на краях а2=±6 отсутствуют, главный вектор нормальных
напряжений, как ожидалось, равен нулю й л
$Ms=nrJrs~Jshv'to,-°-
- h -h
Их главный момент относительно оси панели в любом сечении а2 - const,
отнесенный к единице длины по оси а3, оказывается равным
т" = J С (a2) fN dS = (1_*)ch,y | J (sh^-^sh^1 ch^) da2=-
-h
Eh2
1 -v2 y''
Из этого уравнения по заданию момента "т° "определяется центральный угол
панели a = by/h.
Разлагая правую часть (8) в степенной ряд по у, имеем 2 ?/г2 ( 4
3 i_vnY-jY3+ ••
- первое слагаемое определяет решение линейной задачи об изгибе тонкой
плиты толщины 2h и длины 21 (в направлении о3) моментами, распределенными
по краям а2 = + Ь).
Продольная сила (отнесенная4 к единице длины по оси а2) вычисляется по
(8.25)
Q = ^J(<7-2)da1 = -|^(l-^). (9)
-h
2. Деформирование полого цилиндра. Преобразование, осуществляющее
плоскую деформацию полого достаточно длинного
§9]
ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА
225
цилиндра, задается соотношениями
R = f (г), Ф=ф + 0(г),
(10)
Здесь г, ф, г -цилиндрические координаты частицы в отсчетной натуральной
конфигурации (ее материальные координаты), R, ф, Z -в актуальной. Функции
R(r), 0 (г) подчинены краевым условиям
f(r0) = r о, }(г1) = г1, 0(г") = О, в(г1) = а, (И)
причем
-внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Об этой постановке задачи говорилось в гл. 4, § 13. Внутренняя
поверхность цилиндра заделана. Наружная заключена в жесткую обойму, с
которой она скреплена по всей длине I. Рассматривается деформированное
состояние, обусловленное поворотом обоймы вокруг оси цилиндра на угол а.
Вектор места частицы в актуальной конфигурации может быть определен
комплексной координатой
(12)
= f (г) е'(ч>+е (г" = f (Г) ею(г) у 1.
Через ? обозначается, как в § 8, комплексная координата в отсчетной
конфигурации; имеем
У к,
е"р:
д
дг?
По (12) и (13) находим , dz dei(p 'dei(P dl
'VГ
dl У I 2 г
dl 2 у
5
- В- tф
2 е '
(13)
п dz _ " dz дг *dl~Zd?di~
1
? (r) + jf (r)-fi0, {r)f (г) eI-e(r)=r-(9(r)+,(r". (14) Здесь функции от
г (но не от ф) определены выражениями
<7 =
cos у = - * q
Г (г)-
