Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
= 0
г = а
{иг)г=а - 0:
или
р - 1: s' + s - V j/s2 +-^-а -0. (16)
Возвращаясь к (15), естественно потребовать обращения в нуль (по условию
симметрии) перемещения иг в центре плиты. Это приводит к условию
конечности при г~ 0 величины (15) в квад. ратных скобках
(гогУ- vor или ps' + (l-v) s конечно. (17|
Но аг в центре плиты также конечно, так что (17) можно свести к условию
конечности (гог)'г=,а. Возвращаясь теперь к (7), умножая на г и
интегрируя по г, приходим к соотношению
1г*_г blA. + ±г"п'-1УУ1С rl*L - о
2 f----j---- + Е Г °г 2 Е I f--------------i----
0 }/ + о у
так как (т3а))г=0 = 0 при конечном га'г. При малом г, поскольку огф0, оно
приводится к виду
1
аг = - /-3
Гг г г
1 г- 2 С г3 dr , 1 "Г г1 dr 1 , f гь dr
"7 ЕУ "^2 Ь 77 v7 --77 v7
a'r " 2 1 J ar 16 J of
L о о o' Jr о
-0,
так как выражение в скобках имеет порядок не ниже г4. Условие (17)
выражает поэтому краевое условие
г = 0: о'г = 0 или р = 0: s' = 0. (18)
Прогиб в центре плиты по (12) определяется выражением
~т=^а1та+т | П-va(Ps)']-/ рф, 1 • <19)
( о у s2 + "2" аР2 J
Малость параметра а допускает замену (19) приводимой Кой-тером формулой
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
215
После замены краевого условия (16) его приближенным вы-
Задача приводится к дифференциальному уравнению (10) при условиях (21) и
(18). В работе Койтера приведены результаты численного решения этой
краевой задачи для нескольких значений v.
§ 8. Плоская задача для полулинейного материала
1. Геометрические соотношения. Преобразование отсчетной конфигурации в
актуальную задается соотношениями (греческим индексам сообщаются значения
1, 2)
определяющими плоскую деформацию призматического тела; с-1, если
предотвращено смещение его торцов в продольном направлении. Материальными
координатами служат декартовы координаты а1, а2, а3 отсчетной
конфигурации; градиент места равен
Мера деформации Коши G и ее компоненты определяются формулами
Компоненты тензора искажений U = G'/2 определяются системой Уравнений
р = 1: s' + (1 - v) s = 0
(21)
ха = ха (а1, а2), х3 = саъ,
'(1)
(2)
о
G = VR • VRT
G23 = G31 = 0, G33 = c2.
U U G3 UayUур ioJfs Ga(3iaip i3i3c ,
Gu + t/i2 = Gu, G^2i + и\г- G22>
Gi2 (Gn +1/22) = G12, US3 = c, GSa = 0.
(4)
Инварианты меры Коши оказываются равными
/, (G) = det G = с2 (GnGM-GU),
216
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
причем Gj, G2, с2 -главные значения G. Принимается обозначение
(6)
r r г r г г* - ( ^х1 д*2 дх1 Зх2 \ 2
U-UiU2-UnU22-U12- ^2 g^j >
-те дх1 Зх2 дх1 Зх2
Vg
с У G -определитель преобразования (1). Теперь имеем
(Uu + п22)2 - {VG[ +УGDa - а, + g2+2 у ад =
I дх1 ,дхг\* ( Зх2
I аНг+аН2 у +
Зх1 За1 За2
При обозначении 4 =
возвращаясь к уравнениям (4), получаем
/ дх1 . дх2 \2 . / Зх2 Зх1
(7)
ji,ii if 1 /Зх1 Зх1 . Зх2 Зх2
11+ и_^ ^i2-7 ^ЗЩЗо2' +Зо2'ЗогУ '
Ml G 221
U11 ^22 + <?2)-
^22 =
Ut1-Ul2 = q(U11-U2i) = G1
Зх1 / Зх1 , Зх2 \ . Зх2 / Зх2 Зх1 ^ dti} (Заг'Т"352'J + ЗЩ Ш*;
~3х2 /Зх)_ ЗхМ 3xi_ /3xi_
_ За2 V За1 + За2 ) За2 \ За2 "
(8)
Зх2
'да!
Эти формулы подсказывают целесообразность ввести в рассмотрение
подстановки
1 /Зх1 . Зх2 cos X - q (ч да1 + За2
1 / Зх2 Зх1
(9)
позволяющие представить формулы (8) и выражение тензора U в виде
Зх1 . Зх2 .
^cosx + ^sm*.
Зх1 . , Зх2
-3^sinx+^cosb
,, дх1 Зх2 . Зх1
^1* - ЗН5-С03 ОС+ sm X = - ЗП-sin X
U
U 22
Зх2
^rcos3C>
(10)
П =
Зх
pUp +ci3i3 (Up cos у, - is X Up sin y) + ci3i3
Угол x естественно связывается с ортогональным тензором поворота 0х,
сопровождающим деформацию. По (1.6.8) и (1.3.3)
gj ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 217
имеем
0x = UVrT
дха
(Уз c°s % - hX Уз sin x) -JJ + ci3i3
. . даУ
-f- U3) =
c /
,. . ...... дха da(r) , . .
= (iaie cos x -13 x iai6 sin x) + I3I3 =
= (ij " cos x- h X У e sin x) + i3i3,
так что
0х = E2 cos% - i3 X E2 sin x + *3*3 + 00
Дальнейшее рассмотрение можно упростить введением комплексных обозначений
(черточкой над буквой обозначается переход^ сопряженным величинам)
J^a^ + fa2, z = x1 + u2,
так что
д _ д. _д_ д .(д д да1 dt dt' 2 д_ = _д . _д_
dt, ~ да1 да2
Получаем по (9), (6)
да* 1 \dt dt
dt, да1
да2
0 дг дх1 , дх2
~Щ ~~даУ^~да*
-и(
tft дг дг
Vg =
да1 да2 I ~
дг дг
dt dt dt dt
(12)
?=2
дг - 9 ( дг дг V/* е1'зс_ 92 dz
dt \dt dt
-1 e2t-x = ii/4i. (13) dt I dt V ;
2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения
равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
P=[4<7 + c-3)-2p]Ox + 2pVR =
= [Ч? + с - 3) - 2р] (Е2 cos % - i3 X Е2 sin х) +
дх(r)
+ tyUp-^r + hhp33; (14)
p33 = l(q + c - 3) + 2р(с- 1), р3
¦ о.
В рассмотрение вводятся представления компонент ра(r), подобные формулам
Колосова - Мусхелишвили линейной теории
р1 + ip12 = ф (9) О* + 2pi - ,
. Эг
pn-ipn-.
dz
:Ф(<?)е -2ir^r
(15)
ё. -
218 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем
ф (q) = {I + 2р) (q - 2) -f- 2(х + А, (с - 1)=-=
= (Я + 2р) (16)
Уравнения статики при отсутствии массовых сил
др11 др21 п др12 др22 _ " Зр23
