Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
На поверхностях г = const
Xe,V.(R-r)+2|ier-V(R -г)= Г (ЗА + 2jx) (с, - 1)-4ц-^§-ML - 3L -(г
do г* ~ ( 1 + /-3 у ¦
Постоянные гп с2 определяются краевыми условиями
г = (ЗХ + 2р) (с, ~ 1) - 4р == - (с, + -^f-Y р0,
г О \ Го J
г = гг: (ЗЛ + 2|г) (г, - 1) - 4р = ^ +-%-)' Pi
¦"Уравнения для clt с2 нелинейны.
(15)
210 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Рассмотрим случай шаровой полости в неограниченной упругой среде; одна из
постоянных в (14) определяется условием равенства нулю радиального
перемещения при г -оо
(R-r)r.
(Cl-l)r +
= 0,
Постоянная с2 теперь представляется корнями квадратного уравнения
4У_2(^_1)4 /'0 1 V Ро 1 Л
..3 1 -1". У 7Г+1 = 0, (16)
вещественными при рй < р; они оказываются равными
4р ___2 L
Ро 4 р 1
С2_\ __ 2р / __ л/ , ?ъ_ \ , ?о_
rl)3~ рЛ У Р / 4р
(17)
Давление, распределенное по поверхности г=const, по (15) определяется
выражением (k = rl:rs)
р-=4р-дй(1-| ~k\ - р0 ,
Г\ '/ / \ (18)
D=\+l(k^X){\±y \
Сохранив верхний знак перед радикалом, в линейном приближении (р0/р = 0)
получили бы неприемлемый результат [р -
= Ро т 1 взяв нижнии знак, придем к известному в линеинои Г о /
3
теории закону убывания давления р = р0~рз- Радиальное смеще-щение частицы
среды следует определить поэтому выражением
2р (j j _ Ро
Ро V У Р
4хГ+... (19)
4р
- первое слагаемое справа представляет решение линейной теории. § 7.
Круглая мембрана
Уравнения статики для тензора Пиола, представленного через физические
компоненты в цилиндрических координатах
Р = огегег + стфефеф + о2кк + тГфегеф + тфгефег +
+ ТфгСф к тгфкеф -j- т^кс,. -j- тггсГк) (^)
§7] КРУГЛАЯ МЕМБРАНА 211
по (III.7.28) приводятся к виду (Я^К Я2 = г, Я3 = 1)
д л ^ д-Стг р . у р.
w rar -<хф + + г + грЛ = О,
-|г/-тгф + т(рг + ^ + г^ + гр0^ф = 0, (2)
д ~ , <?Т(р2 . да, , , п
57-гт-+-^- + г^Г + гРо^-0-
Обозначения оп .. ., т,.2 применены, чтобы отличить эти величины от
физических компонент тензора напряжений Коши Т; конечно, в (1) и (2)
тГф=^тфг и т.д.
На поверхностях г = const и г = const
ег • Р = аГе, + тГфеф + т"к = f{г), к Р = тгге,. + тгфеф + агк = i(k).
Койтер (W. Т. Koiter, 1975) рассмотрел, как пример применения принципа
стационарности дополнительной работы, задачу о заделанной по краю г^а
круглой мембране пренебрежимо малой толщины. Статически возможное
напряженное состояние задается тензором Пиола, его компонентами а,., аф,
т,.г, зависящими лишь от г. По (1) и (2), учитывая собственный вес
мембраны (p0kz =- у), приходим к соотношениям
5<Р =(/'5r)'. ^гг = \уг, Ог = 0. (3)
Конечно, более содержательной была бы постановка задачи с пренебрежением
весом мембраны, но с учетом распределенного давления по ее поверхности.
Имеем теперь
Р = arerer -f (гаг)' ефеф + у угегк,
г = а,е,ег + (стгг)' ефеф + у утке,,
так что
Р • Рт = f ог2 + 4- у V2) егег 4- (гаг
1 \v, W
(Р-Рт)'/2= (^+Ty2r2j еге,4-(г<хг)'ефеф.
По (5.5.11) выражение удельной дополнительной работы приобретает вид
3x = le{^+(^)'44-yV-2v (rory Y a2r+jV2r2 +
+ Е[уГ ?*4-±7*г*+(г<у,)']}, (5) причем Е = 2р, (1 -)- v)-"модуль Юнга".
212 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ.
По (5.5.12) теперь определяется градиент места VR = (Эх)р =--4-Р + е,
(1 +
-ефеф (lj-]/% у2г* ) . (6)
"Аналог уравнения Бельтрами" (4.17.12) приводит теперь к
дифференциальному уравнению для напряжения 00 / 3 1 д \ 0
VxVR=(er^ + ±e,A)xVR = 0.
Проделав это довольно громоздкое вычисление, получаем
-^/г"; + Зга;-4- =fflL=-\ + 1 Jr. ^ =0. (7)
у °ЪГ+-?У*Г* ) у Чг+- yV
Введя, следуя Койтеру, безразмерные величины, a=(^-)/s, ar=Eas, Р = у, Оф
= Ea(ps)',
. __ - Л"вЛв/Ув-- ^
4
можно записать (7) в виде
1 г \ +cc/py'+3ps' * /.vgp>, =Л = 0. (9)
- - у2р2а2 = - ?2а3р2 (8)
*2 +4"Р2 V 2 j/s2 + -^apj
Штрихами здесь обозначены производные по р. Поскольку а<^1, можно
довольствоваться полученным Койтером (другим путем) упрощенным уравнением
p2s' + 3ps'+-& = 0, (Ю)
не содержащим ни геометрических (а), ни материальных (Е, v) параметров.
Переходим к определению вектора места. По (6) о о
dR = dr • VR = (er dr -f геф dcp + k dz) • VR =
1 ~(ro,y -iyrk[ - + ==• )dr +
У ^r+TyV2
I-^(rSrY
/
I ordr + re(S>^^- + 1 -
-F /5? + {^]лр. (H)
" S /
к "
КРУГЛАЯ МЕМБРАНА
213
Через w обозначается вертикальная компонента R -прогиб мембраны, равный
нулю-при г = а
w =
1 -jK)'
]/" Щ + ^72г2 1
-к-У Г dr.
(12)
Теперь выражению вектора места придается вид
м (
R= 1да+ J | ег ма \
gr(r^)'
у2/-2
ar dr +
ге,г
(гаг)'
1~ТГ У °*г+ту'г*
\
йЛ (13)
и должно выполняться условие интегрируемости, записываемое в виде
1 ,
+ ТУ2г2
J, = {/
Конечно, оно представляет лишь другую форму записи уравнения (7); (13)
приводится теперь к виду
R = ki"
Или
(шг)'
j 7 V21 г} ег dr +
геф dф
Г
R = кдо -)- j* d | err
(rary
1 -
7 ]/ s;+|tv]} =
^koi + r + e,.^. (14) Здесь ur - радиальное перемещение частиц мембраны
(г°гУ у , ±
? ? К + 4
у2/-2
(15)
214 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ Ц'Л. 6
При г = а отсюда получаем одно из краевых условий для урав-нения (7)
