Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 254

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 248 249 250 251 252 253 < 254 > 255 256 257 258 259 260 .. 742 >> Следующая

обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени
относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает
возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере
деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях
или применение вариационных принципов допускают сведение" задачи к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К числу таких "доступных" материалов принадлежит "полулинейный" (гл. 5, §
5); особенно ценным оказывается свойство обратимости его уравнения
состояния с помощью принципа стационарности дополнительной работы.
Задачи, относящиеся к полулинейному материалу, рассмотрены в §§ 6-8.
1. Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное
нагружение^осуществляется равномерно распределенными по внутренней*'и
наружной поверхностям цилиндра (r = r0, г = г1) давлениями рй, рг.
Материальными координатами служат цилиндрические г, <р, г в отсчетной
конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять1 радиальное
перемещение зависящим только от г, а осевое - линейной функцией с. Место
точки в актуальной конфигурации определяется выражением
R = erf (г) -f-kaz.
По формулам III, § 7, в частности, (III.7.17), имеем
(1)
Ri = e/(r), ^2-=еф/(г), R3 = ak;
ri = г1 = ег, г2 = геф, г2 = , r3 = r3=k,
о
VR = riRJf = ere/ (г) + yf{r) ефеф + кка = VRT,
(3)
G = F = ererf'* (г) Д ефеф-^1-fkka2.
16]
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
207
Тензоры G и F соосны, и для полулинейного материала уравнения равновесия
в объеме и на поверхности по (5.5.16) приводятся к виду
/' " ( dO '
о-о ° J v do
dO
V2u--=0, herV ¦ u -j- 2per- Vu так как
o>
I.
P^r
do
r = r
r = rt,
(4)
f = erp0 при r = r0;
f = - erp1 при
¦гл.
Понадобятся представления физических компонент тензора напряжения Т через
его контравариантные компоненты, а также формулы связи последних с
компонентами тензора Пиола при преобразовании (1). Имеем
Т = RjRK11 + R2RК22 -f R3R3P3 = егег/'2^11 +
+ ефеф/2/22 + kkocT33 = aRtReR -f афефф -f сх2егег
(недиагональные элементы в рассматриваемых здесь задачах, согласно (3),
отсутствуют). Но направления единичных векторов при преобразованиях (2)
сохраняются: ей=ег, еф = еф, к = е2. Поэтому
ок=ГгР\ 0ф-/2Н2, (т2 = а!Р. (5)
Теперь по (2.7.3) и (5.5.5)
Т= ]/-§- VRt-[X(V-R-3) Е +2р (VR - Е)] =
= lk{ [Л +7 + а)-(3A+2^) [f'^r +т-ефеф + акк)-{-
+ 2р (7'2егег + -^- ефеф + а2кк j | ,
так что
а 0Ф:
а/
1
('а г
TJ
о
^ - (ЗЯ -j-2р.)
^ (V + ~~+ а^)+2р-(ЗЯ + 2р) Я (/' + у- + а) + 2ра - (ЗЯ -f 2р.)
(6)
о о
Но Vr=E, V2r = V-Vr=0 и поэтому
V2u = V2R = V2 (erf (г) + kaz) = er ( f + -f ^-
= 0,
f' + l = 2C1, f = Cxr + ~
(7)
208
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
и выражения компонент тензора напряжений приводятся к виду
az - -pj[X (2С1 Да) Д 2ра- (ЗА Д 2р)].
Из последнего выражения находим выражение продольной силы Q, которую
следует приложить к торцам стержня, чтобы осуществлялось рассматриваемое
равновесное состояние
Два других следуют из краевых условий (4) на цилиндри-
k(2C1 + a)+2ii(^C1~^ = ~p1 ^С1 + ^а + ЗЯ + 2ц. (И)
Краевое условие на торце удовлетворено интегрально, в "смысле Сен-
Венана". Этим приходится ограничиваться и в линейной теории.
Для цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами,
а= 1 (длина неизменна). Приняв, что внутреннее давление отсутствует (р0 -
0, р1 = р), получим
Таково выражение внутреннего радиуса сжатого наружным давлением цилиндра.
Сохранив лишь первую степень малой величины р'(2р), придем к выражению
классической задачи Ляме
(Сй + СУ/Да
1
A (2Ci Дя) Д2р (ЗАд2р) ,
A(2Cj Да) Д2р + у (ЗАД2р) , (8)
Q = 2я ^ azR dR = 2л ^ azf (г) f (г) dr
= я (г\ - ) [А. (2Сг Д а) Д 2ра - (ЗА. Д 2р)]. Это - одно из уравнений
для трех констант СД С2, а
A (2Cj Да) Д 2ра - --гГ Д ЗА Д 2р.
л Vi -гй)
(9)
" dO / (/•)
UPPKHY TTHRP П YHflPTfl Y ()HM РР.ПИ VUPPTK UTD -------------------------
----------------- - Cl, -¦ v ' ПП11-
(13)
§ б! ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ 209
2. Радиально симметричная деформация полой сферы. Нагружение
осуществляется равномерно распределенными давлениями р0, рг по внутренней
г = г0 и наружной г - гг поверхностям сферы. Материальными служат
сферические координаты г, Ф, К частицы в отсчетной натуральной
конфигурации; сферические координаты при радиально симметричной
деформации в актуальной конфигурации обозначаются R = f(r), 0 = {}, А=Я.
Векторные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются
формулами
г = гег: г,^=ег, гг = ге$, r3= re>. sin ft;
г1 = ег, г2^, г--^-
г ' г sin O' '
R = f(r)er\R1 = f'(r)er, R2 = /(r)e#, R3 = f (r) e* sin ft;
W = f'(r)er, R2 = 777Г, R3
/(/-)' / (r) sin ft '
так что
VR = efе/ (г) + (е#ей + e^i) -^- = efе/ +E -^=VRT,
G=F = erer(r-il) + Eii.
о о 0 00 00
Вспомнив, что здесь VR = VRT, V2R = V-VRT= VV-R, имеем
V.R = /' + 2f, V2R=er(/'+21)'
и из уравнения равновесия (5.5.16) в объеме получаем
f{r) = cs + -r§-. (14)
Предыдущая << 1 .. 248 249 250 251 252 253 < 254 > 255 256 257 258 259 260 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed