Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 253

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 742 >> Следующая

состояние в нем задается тензором
Т=т(е2е2-е3е3) (2)
- растягивающие напряжения т-по направлениям е2, сжимающие этой же
абсолютной величины - по е3. В системе осей
К - е1> *2 ^ у-^ (е2 + ез) > is = у?} (е2 ез) (3)
(i2, i3 направлены по диагоналям поперечного сечения кубика) напряженное
состояние представляет как раз чистый сдвиг (1). Главные напряжения и
инварианты Т равны
с?! = 0, о2 = т, а3 = - т;
МТ) = 0, /2 (Т) = •- т2, /3(Т)=0.
Тензор Т равен своему девиатору и по (1.13.5), (5.8.9), (5.8.Ш G2 = 4t2,
х = 0, G3 = 0. (4i
В отсчетной натуральной конфигурации кубик представлял параллелепипед с
ребрами op1, цр1, цр1. В плоскости сдвига е2,
1, п =
1
е, = cos а --
§5] чистый сдвиг 203
е3 его поперечное сечение -прямоугольник с ребрами up1, и/1; угол между
его диагоналями 2а определяется формулами
V2 V2 V*
cos а = г~о" у cos 2а = 2 cos2 а- 1 = Чп-г .
V vi+vl
Мерой сдвига по гл. 1, § 4 следует считать разность косинусов углов 2а в
отсчетной и л/2 в актуальной конфигурациях
i 1+Y
1 -У
(5)
В рассмотрение вводится логарифмическая мера деформации Н и ее девиатор.
По формулам (гл. 5, § 8)
1 vi
со = - ф, sin со = - sin тЬ -== In ,
, № (6.
cos со ¦= cos ф = -In - ,
V gt
причем gs определяется по (5.8.4).
Предполагая выполнимость для рассматриваемого материала '-критерия
(5.13.9) и учитывая, что знак разности положительных чисел совпадает со
знаком логарифма их отношения, имеем
К -О In-7--= - т1п7Г > °- (ст2-а3)1п^- = 2т1п > 0,
V<2 U2 ^3 Vl
(а3-Oi) In - = - xln - > 0,
х 3 1; Vl Vx 9
так что для такого материала
V2 > У1 > г 0 < у < 1. (7)
Угол а не может превосхотч'- 45°, что впрочем следует и из
определения сдвига.
По (5.8.17) имеем теперь
^W = °' MH,cos^ ? = (8)
откуда следует
дэ* ,г- . дэ'х . п дэх дэх п /п.
-г-т=г К П2 sinib-f-д-т-cos ф = 0 или -----------==¦-5-:-------- =
0 (9)
dVg2 Y a in Vgi aincosib w
и общее решение этого уравнения в частных производных первого порядка
представляется функцией
ax = f(Vg2 cosij>) = / (in =ф . (10)
204
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Вместе с тем по (8) и (6) йэх = те7> <н> (cos tyd У g2 - У g2 simp d\p) -
xe'i (H) d Уg2 cos ф =
Отношение vjv3 можно выразить через меру сдвига. Получаем
Использование этого соотношения предполагает знание э как функции ^(Н),
УУъ, ф, тогда как э обычно задается через инварианты тензора F или через
его главные значения.
По определению главных сил и по заданию главных напряжений
Из первого и второго соотношений снова получаем (10)
При задании э через инварианты Ik (F) уравнения (14) приводятся к виду
Вычисления, диктуемые этими формулами,-представления vv Vt-, vs через т,-
доводимы до конечных соотношений лишь при
те7* (H)d In -= те7" <н
t)3 v2 v3
так что
(И)
(12)
as |vata) 2t (13)
и no (4.3.16)
дэ
dvj
и из третьего (11) и (12)
(17)
(18)
(19)
§ 5] ЧИСТЫЙ сдвиг 205
особо "удачных" заданиях зависимостей э от инвариантов. В общем случае
возможно лишь построение формул, описывающих "эффекты второго порядка"
для достаточно малых т. Они исчерпывающим образом представлены Трусделлом
и Муном (С. Trues-dell, Н. Moon, 1974).
Материал Синьорини. Удельная потенциальная энергия, задаваемая выражением
(5.11.4), не зависит ст и по (17) в задаче о чистом сдвиге
'¦* - /2 = 3ф!, /3=-5гт-- (2°)
J. 2 i 2 ' * Ы Ml о а г И
Соотношение (18) приводится к виду
(>. + р)^)3+2(3), + р)^--3(9?, + 5р) = 0.
Это уравнение имеет корень /2//3 = 3, второй -отрицательный должен быть
отброшен. По (20) получаем
^ = 0, -L + 4 = 2, (21)
V% v3
так что > 1, < 1 по (7). По (19), (20) и (21) получаем
те-
перь
2т 1 1 /. Т \-'/а / , Т \-1/г /ооч
"*=(¦-it) ¦ 1И1+Тг) <22>
и формула связи касательного напряженного т со сдвигом в упрощенном
варианте (с = 0) тела Синьорини повторяет соотношение линейной теории
т=ру, (23)
но, конечно, у отнюдь не должно быть малым.
Эта же зависимость имеет место в материале Блейтца и Ко. Для него по
(5.6.5)
= 1-7'=ai^' 1+7Г = '^' Т=^- (24)
у I з М- М- гз
В задаче о простом сдвиге по (5.11.4), (4.3) и (4.5) для материала
Синьорини
a=yjTS2 + -^-(^ + p) s4, |x(ss) = |x + -^-(^ + |x)s!! (25)
и по (4.7) напряжения определяются по формулам *п = /""=_[4Я_ (*, + ,*)
s2]^,
<26)
<"" = - [4 (I + 2ц) + 3 (I + ц) s2] -i-, *12 = р (s2) s.
206 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
§ 6. Полулинейный материал. Задачи Ляме для цилиндра и сферы
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор
напряжений постоянен и представим в единой для всех материалов форме
записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или
представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации
требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями
и напряжениями в конкретном материале.
При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже
неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый
доступный прием -построение решений, близких к решениям линейной теории и
Предыдущая << 1 .. 247 248 249 250 251 252 < 253 > 254 255 256 257 258 259 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed