Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
ф(сс2, и2) = [(СС2- 1) S + (°2- 1) S
F = E
(4)
По (3), сославшись на (4.7.12), (4.7.13), имеем
дг|)' da2jF=E'
дэ
д/2
дэ
д/я
+ 2
Л2а Я2 а
?± + U4(1+a.)*^ + l,.aS^ +
д11 dh dh
+ 2п2 (1 + a2) ^ + 2a2(1 + a2) ^ + 2 uw
дэ
' 2
дэ \°
Ж -f 2
Ал oJL
dh 1 9/,
v= 1 a= 1
4(p + A) (5)
и аналогичное вычисление дает
$)м-т "*+*"• <*>
По (4) получаем теперь
ф (a2, v2) = 1 [(ЗХ + 2ц) (е2 - 1) + 2 (X + ц) (a2 - 1)] + . . . (7)
В линейном приближении, обозначив б,, 62 продольное и поперечное
относительные удлинения, имеем
v2 = 1 +261; а2о2 - 1 +2б2
и по (7)
(3^+2р) + 2 (Я-ф ц) (б2 - б,,) 4- . . . - 0, ~ ~ пж 7 .,; = v (8)
этим определяется коэффициент Пуассона в линейной теории.
196
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
Поскольку можно, сославшись на теорему о не-
явных функциях, утверждать, что по крайней мере в окрестности
натурального состояния уравнение (3) однозначно разрешимо относительно
а2; подстановка этого значения a2 (у2) в (2) приводит к выражению щ (у)-
диаграмме растяжения образца.
Применение критерия монотонности (5.10.13) приводит к более общему
заключению. Полагая у2 = у3=у, имеем
дэ (гд, у2, Уз)
9V3 JV2 = V а = В
Это уравнение разрешимо относительно у при условии
d_t2
dv
d23(vt, v2, v3) д2э(э1, v2, v3)
dv2
dv3 dv2
Ф0.
= 0. (9)
(10)
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы (5.10.13) имеем
Л!?Л = >0,
dv2 Jv2-v3 = v \ dl'3 J v2 = v3 = v
д2э д2э dv\ dv\
дЪ
dv2dv3
V 2 = V'l - V
д2э ^ 2 dv\
д2э
dv2dv3
>0.
Из этих неравенств имеем
а 2 ^ OV 2
д2э
dv"dv3
>0,
откуда следует, что при любом знаке смешанной производной
' д2э , д2э
dv\
dv2 ди;.
> о
и по (10) уравнение (9) имеет решение v = vt, что и требуется.
§ 3. Одноосное растяжение в материале Синьорини,
Блейтца и Ко, полулинейном материале
1. Выражение тензора напряжений (5.9.2) после замены Я через р и v по
(2.8) при с = 0 (упрощенный материал Синьорини) приводится к виду
1 ~V'*' 4 ji) E + (l- 2v - j[) A. (1)
2p " у < 4
Здесь А -тензор деформации Альманзи, Ц= 11 (А). По (1.7.8) A=4(E-F-B. А"
= 4п-уг2). -оо<Л.<4-, (2)
2 '
§3] ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ В МАТЕРИАЛАХ 197
причем As~ 0 в натуральном состоянии, а границам интервала (- оо, 1/2)
соответствуют бесконечное сжатие и бесконечное растяжение стержня.
В одноосном напряженном состоянии Л2^Л3, //=-Л, + 2Л2
Oi = А, (1 - V) - 4 А! - Л1Л2 + 2v Л2 + А\, (3)
СТ2=^Л1 + Л2-)- Л2 - Л1 = 0. (4)
Корень квадратного уравнения (4), меньший 1/2, определяется формулой
Л2=|( 1 _ Д1/^), А = Л2 + 4v + 1
и Д для допустимых в теории Синьорини значений v (5.2.16) неотрицательно.
Главная сила
h = (1 -2 А2)~1о1 = Л-1/2 ог
по (3) представляется выражением
*1=цг*;1А- l~2v + Al/2 О+гг + А^А})]. (5)
Соответствующая бесконечному удлинению А1 - 1/2 разрывающая образец сила
Q = tyS0 оказывается конечной (S0 - площадь сечения в натуральном
состоянии) и равной
"-гтёч<>/5+(r)-1-4'0
и при всех допустимых v:
- |-<v<y, уц5" < Q <|-pS0. (6)
Сжимающее усилие, доводящее длину стержня до нуля (Лг->- оо), бесконечно.
2. Для материала Блейтца и Ко при одноосном растяжении (а2 = а3 = 0)
по (5.6.5)
]A/3 = v1v! = v22, vi=Vii,]/l3 = Vv1, ^-=1 -УГ5/2, (7)
Г
оу - монотонно возрастающая функция, отрицательная при сжатии (0<у1<1) и
положительная при растяжении (iy > 1). Иначе ведет себя главная сила tx
11! = lOl = vr112 - уг3 , у г3/2 (1 - 6пг5/2), (8)
р 1 щ р От! 2 v i \ /
Монотонно растущая от - оо до 0 при сжатиях, а при растяжениях имеющая
весьма пологий максимум t?"0,58р при
198 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
vt = гф"2,1. Любому значению t1 = tl<t? соответствуют два у, > 1: одно у,
< у?, другое у" > у?. Этим иллюстрируется действенность критериев
монотонности (5.10.13) не во всей области значений а, а в окрестности (в
этом случае, однако, достаточно далекой) натуральной конфигурации.
3. Для полулинейного материала при одноосном растяжении по (5.5.5)
а1 = 7[(^ + 2р)б1 + 2б2], а2 == + 2 (Х-|- р) 62] = 0 ^
(б, = vs- 1) и как следовало ожидать
- А. (Ю)
так что
^ = = h = E6lt ? = Д+Д, (И)
vt Л+Р V 2 Л+Р
как в линейной теории. При одноосном растяжении призматического стержня
направления главных осей меры деформации сохраняются, поэтому
0х = Е, VR = VRT = V, Vr = VrT = V-1,
¦yf ~ VrT T = ajV"1 • = ip,/,;
S
как можно было предвидеть, - (11)-компонента тензора Пиола. По (5.5.1)
имеем
э = Д (6t + 2б2)2 + р (б? + 2б2) ^ б* [ 1 К (1 - 2vy2 + р (1 + 2v2)' =
_L К2р _ J_ Д_
2 1 2 Е •
Далее по (5.5.11), (5.5.13) находим Эх=э+\/,((Р. )=| + 1" VR^
(5х)р - ip, ± (4 + и )
и, как ожидалось,
+1, ^1 = (-§+ l) а1 = (*1 + 1) a1
Это вычисление приведено с целью показать применение принципа
стационарности дополнительной работы в простейшем случае.
§4]
ПРОСТОЙ сдвиг
199
§ 4. Простой сдвиг
Задаче о сдвиге принадлежит в нелинейной теории особое место -ею дается
неосуществимое в линейной теории объяснение предсказанных и
экспериментально обнаруженных явлений в изотропном упругом материале
