Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
разрешима относительно vk. Например, уравнение состояния упругой жидкости
(3.8.3)
может быть разрешено относительно произведения v-,v2v3, но не каждого из
vk по отдельности. Иначе -с главными силами
/, = О, &=1 VT3f(VT3), (tj2t3y/>=/9f iVT3).
vl ul
Из последнего уравнения Y/3 определяется через произведение это позволяет
определить гу формулами вида
vt t t-= 1,2,3. (6)
Ч
2. Уже упомянутое в § 10 беТ-неравенство упорядоченных сил
Vi ~ h) (vi - Vk) > 0. Vi Ф vk, f = 1,2,3, (7)
выражает привычное представление, что большей силе соответствует большая
деформация. Его вывод основан на рассмотрении сравниваемого состояния, в
котором
or=-u" v3, v$ = vu (8)
и на соотношениях (4.3.13), согласно которым
Д-=/(о 1, vt, v3), Y = v2, v3, i'!) = /*.
Теперь неравенствам (5) может быть придан вид
(t2 ty (о, Oj) 0, 1>1 Ф v2
и аналогично получаются два других 6!Г-неравенства. Остается проверить,
что преобразование перестановки индексов (8) не нарушает условия (9.6)
вывода неравенства (9.7). Действительно, о о
VR* = 0-Vx = VR.S = 0-V-S, V~lVx = S,
Но здесь
Vх = е1е1о2 + е2е2и3 + еде^,
S = e1eI? + e,eg-^ + e,e,-?- = V><.V-1 = S*
v3
И S = §г - положительный тензор, что и требуется.
192 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [Гл. 5
3. В параллель с 61"-неравенствами приводятся ЗЭс^-неравен-ства
(4.12.12)
(а,. - ок) (у,. - vk) > 0, i, ? = 1,2,3, (9)
следующие из условий сильной эллиптичности уравнений теории упругости. Их
представления в виде
Щ=%>0, ^Г>о, -^г>о (10,
V\-Vi V1-V3 l>3- Dl
можно выразить, основываясь на уравнениях состояния (4.3,9), также в
форме
дэ . " дэ . п дэ . /3 дэ . п .
аГ+у'йГ>0 или 7)Г+~ТДГЙГ > 0> vi^vk' '
СПх 0/2 О/х ViVfc 0'2 (11)
г, ^ = 1,2, 3.
Аналогичное вычисление по (4.3.13) для неравенств (7) приводит их к видам
(/х - /2) (Их - и2) = 2 (Ух - И2)2 + № - V&) _ -L /3 ^
=2(Ух - у2)
_ ' т дэ . , дэ ViV2 \ 2 д12 х 3 д!3
>0. (12)
Очевидно, что неравенства (11) и (12) подтверждаются эмпирическими
критериями (11.3); обратное, конечно, не имеет места--критерии (11.3)
отнюдь не следуют из 33?- и 0|Г-неравенств. Напомним (гл. 5, § 10), что
одновременное выполнение этих неравенств гарантирует справедливость
неравенств (10.14).
4. Как пример S'^-неравенств рассмотрим случай всестороннего
растяжения или сжатия: - v$ -- vf -- Vх. Если неискажен-
ная конфигурация - натуральная (р - 0, /--=0, У-1), то по (1) и (2)
pxgx > о, /х§х > 0 (бх==ух_1)
- растягивающие напряжения (силы) увеличивают, сжимающие - уменьшают
линейные размеры.
Но если искаженное состояние ненатуральное, то неравенства
(рх-р) (ох-о) >0, (tx-t) (vx-v) > 0
§ 13]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
193
неэквивалентны. Действительно,
(tX - 0 (уХ - v) = (vx - V) (yxVX - Vйр) ¦-
: (уХ - V)
= (vx-v) (рХ - р)
VX (рХ p)+p(VX - Д2)]:
Ух +
(,рх-р)'
(рх - р) (Vх - у) (уХ + V)
(j0X Р) (Vх -V) :
¦ (tXV2 foX*) :
(13)
л>х'
(Ух-У) (/х-/)
(уХ - у) [(/х - /) у2 - / (уХ2 _ j _ t
(гх-/):
(/х -/) (ух - v) (ух-)-у)
При растяжении (р > 0) второе равенство (13) - следствие первого, в
состоянии сжатия первое -следствие второго.
7
А. И. Лурье
Г л а в а 6
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
§ 1. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
В гл. 4, § 15 было приведено доказательство теоремы Эриксена о
несуществовании универсальных, иначе говоря, сохраняющих форму при любом
задании удельной потенциальной энергии деформации 9(/j, /2, /3) решений
задач нелинейной теории упругости для сжимаемой среды при преобразовании
отсчетной конфигурации в актуальную, отличном от аффинного.
В этой главе повсюду, если не оговорено противное, предполагается
отсутствие массовых сил; напряженное состояние создается поверхностными
силами. Постоянный тензор напряжений Т при этом условии определяется
уравнением состояния (4.3.4), главные силы и главные напряжения равны
t,
дэ
dv,
V/:
t, 2 ]' I.
vs
дэ
(s-1,2,3),
+ Yh (s= 1,2,3).
(2)
Простейшее аффинное преобразование -преобразование подобия. Для него
R = /Сг, VR = /Сг% = /СЕ, F - /С2Е, vs-^v^=K (s - 1,2, 3)
и, приняв получаем
э(щ, о2, va) = f(v),
дэ
gv - / (v) - + ^2 ~Ь " 3/, t - ч / (у) .
(3)
(4)
(5)
Согласно (2), в состоянии всестороннего сжатия зависимость давления (р =
-а^, s- 1,2,3) от плотности определяется соотношением
~Р = ШГ (") = -
.р! - f I (2i PodP V V р
(6)
ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ
195
Примерами аффинного преобразования служат задачи об одноосном растяжении
(гл. 6, §§2-3), простом (§ 4) и чистом (§ 5)
сдвиге.
§ 2. Одноосное растяжение стержня
Ось растягиваемого призматического стержня совмещается с осью ОХ; тогда
ст2-а3 = 0. Главные значения меры Фингера обозначаются у2, а2о2, а2и2; ее
инвариантны равны
/1= (1 +2a2)i>2, /2 = (2 4-a2)a2i>\ /3=а4у6. (1)
По (1.2) имеем
(2)
ay = 2v
дэ
1 дэ 9дэ а 2 дэ vW dh ^ d/2 + д!з
и2 dh
+ (l-ba2)
дэ
Ж
-02a2
дэ
dh
¦¦ 2уф (a2, v2) = 0. (3)
В отсчетной натуральной конфигурации F = E, о = 1, a2= 1; в ее
окрестности
