Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 246

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 240 241 242 243 244 245 < 246 > 247 248 249 250 251 252 .. 742 >> Следующая

а аналогом формул (6) и (7) являются соотношения
sinX = y=-(2o,-o2 -о3), cosx = -^=- (о2-о3), (11)
С3 = - ('У')3/г sln 3Х = 4^з (dev Т). (12)
По (6) и (11) имеем теперь
V g2G2cosco = (a2 - 0-3) Inу- + у (2о,-о2-о3) In-Г, (13)
^3 J У2и3
V3g2Gs sin со = (2о, - о2 - о3) In - (о2 - о3) In . ' (14)
Здесь
<в = Х - Ф
176
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. П
- введенная соотношением (II.9.6) фаза подобия девиаторов тензора
напряжений Коши и меры деформации Генки.
Возвращаясь к соотношениям (4.3.16), (4.3.12), имеем теперь
бэ = X + (Н) X ак 4 =
к= 1 /. - 1 к
= емн) о-А.б1пу/г -e'i <н> ^
/г=1
/г=1
а после выделения шаровых и девиаторных слагаемых тензоров Т и Н
з
'бА'н46/1 (Н)]
о
8э = еМН)? [аИ4/1(Т)
1 L
*=1
3
= д. (Н) 2 сДб/4 + {<н> /, (Т) б/, (Н), *=1
так как
|ст[ = о, ?8/4 = 0.
/е=1 Ar= 1
ГТо (3) и аналогичному представлению о'к имеем fa
'E*a'k8h'k = -
k=\
з
sin % cos Ф + sin 4 +4) cos 4 + 4) +
+ sin f% +4) cos 4+4 '
бф +
sin%sinT +
+ sin(x+4)sin 4 + 4) +sin 4 + 4) sin 4 + 4
61+g2
и после очевидных упрощений з
? CftSAft = 4-(1+ Яг sin собгр Д- cos об Нёг)
(15)
Вариации удельной потенциальной энергии, рассматриваемой здесь как
функция задающих меру Генки величин, теперь придается вид
8э = б'ИмН), ф, 1/^) = еМн> [1/1(Т)б/1(Н) +
+ !К02(К&зто>бф + со8а>бК&) . (16)
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНЛ - НОЛЛА 177
Приходим к соотношению связи инвариантных величин, определяющих тензоры Т
и Н
г = | /, (Т) <">, -gp = j *'•(Н) sin со,
е1' <н) cos м. (17)
д!л (Н) 3м' ' Эф 2
дэ
д f g2 2
По (II.9.4) и (II.9.12) определяющему уравнению devT него обращению
придается вид
devT
¦^sW /-f{cos W dev H
- 2 [(dev H)2 - ^-Eg2 sin со j , (18)
dev H - - * n- -J-jcos (-co + 3%) dev T +
+ 2]/|[(devT)2-|EG2]sinco} . (19)
cos 3%
Они тождественно удовлетворяются вышеприведенными соотношениями.
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния
Колемана - Нолла
Непрерывная функция f (х) называется монотонно возрастающей, если для
любых двух значений х, х0 переменной х в области ее определения
[/(х) - f(x0)](x - х0) > 0, хфх0. (1)
Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента: Q
(А) - монотонно возрастающая функция А, если условие
[Q (Ах) - Q (А)] - • (Ахт-Ат) > 0 (2)
выполнено для всех тензоров Ах вида
Ах = A-S, S=^E. (3)
Было предложено считать монотонность тензора Пиола Р (vr) критерием
пригодности задания определяющего уравнения
[р ( VRX) -p(vr)] - • ( VRxr- VRT) >0
4VRX = VR-S, S^=e). (4)
178 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА {ГЛ. 5
1. Покажем, однако, что при S ^0, О -ортогональный тензор, принцип
материальной индифферентности (гл. 3, § 2) ограничивает применимость
критерия (4) узким классом напряженных состояний. Действительно, согласно
этому принципу при ортогональном преобразовании по (3.2.3) и (2.7.2)
Рх = РО, Рх - Р= У J-Vrr-Т-(О-Е).
Критерий (4) представляется теперь неравенством VrT-T • (О - Е) ¦ • (0х-
Е) • VRr - Т • • (2Е - О - 0Т) =
л (Т)-iT--(0+0T)
>0
и по (1.11.10)
(0 + 0 г) = Е cos со-|- (1 - cos со) ее,
Д (Т) - Т • • (О -f Ог) = (1 - cos со) (/, (Т) - Т • ¦ ее).
Заменив здесь Т его представлением через главные напряжения и обозначив
через углы оси поворота е с главными направлениями Т, приходим к
неравенству
ста + <т2"2 + <т3аз >0, as = - sin2 ys (5)
для всех
а1 + а2 + а3=1.
Это неравенство выполняется конечно при
mincTs>0 или <у1 > 0, ст2 > 0, о3 > 0.
S
Пусть далее
mincr^ = сг3 < 0, - сг3 > 0, а2 -а3>0.
S
Тогда (5) после исключения аа приводится к виду (ст* - as) ccj + (a2 -
a3) a2 - | a31 > 0, f (au a2) =
-ai"03cc1 + ^^a2-l >0.
la3l ¦ |"3.
На плоскости alt a2 прямая a2) = 0 отсекает наосихс^, a2 отрезки
ао = _[ДИ_
CTl-CT3' ^ 02- с
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНА - НОЛЛА 179
и область / (аи а2) > 0 расположена выше этой прямой, но обязательно в
треугольнике
О 0,5, 0^а2^0,5,
ограниченном положительными осями аг, a2 и прямой aj + a2 = 0,5. Поэтому
J-^TT < 0-5, К 1 < °,5стл + 0,5 |ст3 |, 0ft + 03>O (6=1,2).
Здесь показано, что определяемый неравенством (4) критерий применим лишь
для таких материалов, напряженное состояние в которых характеризуется
положительностью суммы любых двух главных напряжений
o'i + ct2>0, о2+а3>0, Og+a^O
о
независимо от характера деформации VR.
2. Это заставляет ограничить класс допускаемых неравенством (4)
тензоров: в предложенном Колеманом и Ноллом критерии предлагается
выбирать в качестве тензора S только чистую деформацию, иначе говоря,
требуется, чтобы S был симметричным положительным тензором
S = ST, a-S-a > 0 (6)
для любого вектора а^=0.
К (6) далее добавляется условие, что сопровождающий деформацию
ортогональный тензор тот же в актуальном и сравниваемом с ним состоянии.
Тогда
VRx = U* •() = О-Vх, Vrx = VX_10T, VrxT = О-Vх-1,
рх = у -Х О-Vx~'-Tx У 8
и критерий (4) записывается в виде
0.( YVх"-тх- |/^V_1-T j - -(Vх -V)-0T =
= ( ]/-|Х Vх-.Тх- ]/|v-1.t)..(Vx-V)>0.
Входящие в это неравенство тензоры соосны: Vх и V по условию, Т и V,
Предыдущая << 1 .. 240 241 242 243 244 245 < 246 > 247 248 249 250 251 252 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed