Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
os = А^4-2це3, s= 1,2,3. (19)
По (4.3.5) и (4.5.5) неравными нулю оказываются лишь
^о=- у^з"01, ^1 = 4^- ^оо =4 ца/3""
и по (4.11.16) представлению акустического тензора придается вид
Q=jli[EN.F-N + (2a+l)/,-"NN]. (20)
172 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
При -1/2<а<оо, что соответствует -oo<v<l/2, det Q удовлетворяет всем
условиям теоремы Сильвестра для всех N и всех положительных тензоров F-
при любых деформациях; система уравнений для "гипотетического" материала
- сильно эллиптическая.
§ 7. Энергия изменения объема и изменения формы
В. А. Пальмову (1976) принадлежит обобщение известного в линейной теории
представления удельной потенциальной энергии суммой двух слагаемых,
определяющих энергию изменения объема и "формоизменения".
Исходной предпосылкой, определившей успех этого предложения, послужила
замена мер, деформации Коши -Грина и Фингера мерами
G+ = /3-V3G, F+ = /-^F (/3 = /3(G) = /,(F)). (1)
Главные значения этих тензоров в соответствии с этим определением равны
Gk = Ft = It'/sGk = It'uFk {Gk = Fk - vl, k=\, 2, 3) (2)
и поэтому их третий инвариант оказывается равным 1 - они
"нечувствительны" к изменению объема
/3 (G+) = /3 (F+) = GiGtGt = (/3 ,/з)3 GjG2G3 = 1. (.:•)
Аналогичные соотношения для меры Альманзи g и меры G-' представляются
выражениями
g+ = /;/3g, (G-i)+ = /,3/*G-i = (/i)-*/.G-1, /i=/,(g) = /,-K (4)
Удельная потенциальная энергия деформации э далее представляется суммой
энергии изменения объема эг и энергии формоизменения э,,
э=э, + эп, 3j = э,(|/73)> 3" = sn(/i(F+), /2(F+)). (5)
Тензор напряжений определяется по (4.3.2)
Т = 2ЦЧгэт • F = 2Г3и (э,)Р • F + 2/~v* (sn)F • F = Т, +Т". (6)
По правилам дифференцирования в II, §§ 2, 3 имеем
з, {VTJ? = j (VT3) /^f-1
и первое слагаемое в (6) оказывается равным
T, = sJ(K7;)E. (7)
§ri
ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА И ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
173
Более громоздко вычисление Тп. Имеем
(3n)F = <!
дэи
а/,( F+)
A(F+);
d/,(F + )J +
- использовано правило (II.4.12). По (II.4.9), (II.4.18) имеем также
1 Г1/фр-1 /-'.з Д.
(F+)f = (F/rv*)F = - -j /r'^FF-1 + /Г'3 jr (C" + C,")
и теперь T"
1 / Г дзц . 1 / /р + \
:1 )[,?/, (F+) + /l 1 jd/2(F+)
dsn
dsn
5э,т
dls(
ИЛИ no (1)
T"=2/3-1A{
dh (F + ) 1 дэ"
/i(F+)
a/*(F+).
/i(F)E + T
asn
3 d/2(F + )
F+F
/, (F+ • F) E
dl i(F+)
дэ
dJ2( F+)
F+ -f Е/, (FH
дэ и
a/*(F + )
При аналогичных (4.3.5) обозначениях
F + 2-y Е/
i(F+2)]}.
дэи
W^dTTJFry
11 (F+)
дз
^2 = - ,
дэи
(8)
a/2(F+)' a/2 (f+)
и вспомнив определение девиатора тензора в I, § 13, получаем
Т"= 2/J1/2 dev (41+F+ + 42+F+2). (9)
Тензор напряжений Коши оказался представленным суммой шарового и
девиаторного слагаемых
Т = э'{{УТ3) Е + 2 |/|dev№F++42+F+a). (10)
Аналогично представление через измененную меру Альманзи
Т = з((/7])Е+2 )/|-dev0K+g++iK+g+*), (11)
причем подобно (4.3.8)
(Ээт
dh (gn
/1 (g+)
da.
a/*(g+)
]. V*
дэи
' dl2( g + ) '
(12)
Для задания з" может быть использовано выражение, линейное относительно
/, (F+), /2(F+)
эи = С1!1 (F+)-f С2/2 (F+) (С, > 0, С2>0),
(13)
174 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
подобное потенциалу Муни для несжимаемой среды [см. гл. 7, § 2]. Тогда
Т" = 2 )/ldev{[C1 + C2/1(F+)]F + -C2F^. (14)
Приемлемой аппроксимацией может служить выражение
3, {VT3) - - k (1 n Vh - J/Ts + 1), (15)
так что
Tj = - к(1з'!2 - l) Е, /, (Т)^-3/г(/з,/1- 1),
<7 = 4 (Т) = -^е=^,
ч !>о
где д -среднее нормальное напряжение.
§ 8. Тригонометрическое представление уравнения состояния
Следуя I, § 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на
шаровую и девиаторную части
з
T = 4/1(T)E + devT = 4/1(T)E + ?as'eIes (1)
S= 1
- через сг' обозначены главные значения dev Т. Деформированное состояние
задается соосным с Т тензором логарифмической меры деформации Н.
Аналогично (1) имеем
з
Н = ~ Д (Н) Е + dev Н = | Д (Н) + X fases. (2)
S= 1
Здесь h's - главные значения devH. По (1.13.10) можно представить их
формулами
hi= |/-f-sinT, /ь=]/-§- Sin(\l3 + -y-j,
)/ f sin(Yp4=-); |ф|<?, (3)
причем по (1.13.4), (1.13.5)
2 3
4/2 (dev Н) = 4 № -Kf + (h2 -h3Y + (A, -h,Y]
. gj ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 175
- использованы формулы (1.6.11). По определению девиатора К - = К - у /,
(Н) = In vs - Д- In у,у2у3;
/1]^Д-1п- , h2 - Д- In -- , /ia = 4 In-. (5)
1 3 у2у3 3 y3y, J 3 у,у2 4 '
Следствием (3) и (5) являются соотношения
sin\[) = -77==- 1П " > cos 'Ф1° Д1
V 3g2 Г2У3 Y gi
3
- второе получено по выражению h2 после замены
• ! , , 2л \ 1 . . . V 3 ,
Sin ( Ф -) д~ ) = 2" SIHIp 4 Ц, C0S ф.
Формулами (6) определяется ф. Другое определение следует из (1.13.5),
(1.13.9)
& = - (т) '* sin3ip=4/,(devH). (7)
В применении к dev Т записи формул в I, § 13 приводятся к виду ___
____________________________
о) = ]/¦-у- sin X. °2 -= |/у sin (х 4- у) ,
о3= )/у sin (х Ду) ' Ixl <j , (8)
G2 = - 4/2 (dev Т) - -Д [(cr, - <т2)2 + (а, - о3)2 4- (а3 - а,)2], (9)
<Д = 4 (2а, - а2 - а3), 02 = 4(202 - 0-3 - 0,),
о3 := Д- (2о3 о, о2), (10)
