Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
неравенство
(А + 2ц) (и2 +п3) + Ащ > ЗА-f 2ц. (19)
Неравенства (18), (19) преобразуются к виду
(1-2 q){v1 + v2) + qv3> 1, (1-2 q){v2 + v3) + qv1> 1,
0- 2<7)(о3 + и1) + <7и2 > 1, (20)
причем q = v/(l -f v), - oo < q < 1/3.
Когда лишь одна компонента N обращается в нуль, например ^з = 0, тензор Q
становится равным
Q = [(А + 2ц) (х2 + у2) + Су2] + [(А + 2ц) (х2 + у2) + Сх2] е2е2 +
___________+[(*¦ + 2ц) (х2 + у2) + (Ау2 + Вх2)] е3е3 - (е,е2 + е,е,) Сху.
*) Как и в представлениях (4.12.9) (4.12.10) отброшен не изменяющий знака
Q множитель У1$.
168 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Условия положительности компоненты Q33
Я-{-2р-|-В>0, А.2[д. -f- Л. > О
уже заключено в (18) и (19). Точно так же в силу этих условий оказывается
положительным и диагональный минор
[(К + 2ц) (х2 + у2) + Су2] [(Я + 2ц) (х2 + у2) + Сх2] - С2ху =
= (Я 2р) (х2 + */2)2 (^ + 2[х + С)
равно как и два других диагональных минора.
Без труда проверяется, что условия (20) гарантируют положительность
диагональных членов и диагональных миноров матрицы компонент
акустического тензора (17) при любых N (отличны от нуля х, у, г). Этим
гарантируется и положительность; как можно проверить,
det Q > 0.
Итак, доказано, что неравенства (20) -не только необходимые, но и
достаточные условия положительности акустического тензора, значит и
сильной эллиптичности полулинейного материала.
§ 6. Материал Блейтца и Ко
Опытные данные, полученные Блейтцем и Ко при измерении деформаций одного
из специальных сортов резины в широком диапазоне нагружений, оказалось
возможным аппроксимировать представлением удельной потенциальной энергии
трехконстантным выражением
f тц(! - р)
+ а(Г
1)-3
(1)
(2)
2ц 1- 2v'
Упрощенный вариант этой зависимости, признаваемый этими авторами
приемлемым, использован в одной из работ Ноулса и Стернберга (J. К-
Knowles, Е. Sternberg, 1975) при значениях постоянных
Р = 0,
1
V = T
а = -
Выражение э в этом предположении принимает вид
?=тИ1т- + 2П.-5) (3)
444+21//>
S6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО
169
и уравнения состояния для тензоров Пиола и Коши представляются формулами
о
VR
11 / Я
[E/1-G + (/;/z-/2)G-1].VR,
Т = р/:Г3/г[Е (/:/2-/,) + /,F-F2].
В линейном приближении, используя (3.4), (3.5), получаем
Т --- р (ЕЬ + 2е)
- это линейно упругий материал при Я=(х (v = 0,25). Главное напряжение
оказывается равным
- оу = 1 + Is3/2 [- {v\v\ + v\v% -f vlv\) -f v\ (v? + v\ -f v\) - vi] =
I1
(4)
так что
1_?l
VTA'
g2 _ 1
и ~ VTA'
Получаем
VI
так что по (5) v\ =
J Hit f J / J н_з\1 1/<6
И / \ M- / \ И-
1 - 1 i1 KT3i|
r-6/2
^ '
• (5)
(6)
l_?i) i_?s
p J \ P
H3
(s= 1,2,3). (7)
Закон состояния (4) оказался обратимым. При обозначении
--3 ) =1-
/i(T) , /о (Т) /з (Т)
Г
(8)
получаем
Л (G) = D-4/6 3
2Л(Т) , /2(Т)
К (И
Г
/2 (G) = D-V^3-/3 (G) = /)-*/..
По (3) выражение э теперь представляется через инварианты тензора
напряжений Коши
/1 (Т)
Э = тр
5 (Z5-1/-- 1) - D-
(9)
[70 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. г,
Имеем также
Р - • VRT = VhU (Т) = D-V./x (Т)
и выражение удельной дополнительной работы (4.17.3) приводится к виду
(Ю)
- у Р [5 (1 - ?>- V.) + 3D-'/./г (Т)].
Здесь оказывается возможным обратить уравнение состояния (4) выразить F
через Т
S- 1
= D-V
S= 1
1- os/p
-еяе, 1
=D-4/'
ИЛИ
F = D-4A
= - 5p,(D'^)T. (11)
Последнее равенство - следствие соотношения (8) и формул
дифференцирования II, § 3
_|lDr = E(l-^ + ^) + i:T(l-M2)+L;=.FCV.. (12)
Формула обращения оказалась достаточно сложной -в ней D следует заменить
по (8).
Обратимся еще к построению акустического тензора Q для материала Блейтца
и Ко. Используется формула (4.11.16). По (4.3.5), (4.5.5), отбросив
положительный множитель ц, имеем
>0= 2Г3( ^2 + ^з ), ' ^2== "2"77'
^°о=2Г^2+^/2). $ю = ~2~Г ' $02 = 27-,
$,
$22 = $12 = О
11 " 21"
и подстановка в (4.11.16) дает
4/,Q = 3/2NN-21, (NF-N + N- FN) + 2 (NF2-N + N• F2N) +
+ N • FF - N -f- (/jE - F) N-F-N -EN-F2-N. (13)
§6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО 171
Через главные значения и главные направления F тензору Q придается вид
з
Q = ? (2Щ + М2)Щ- + (e,e2 + e2e,) N,N2 +
tT\ Vs A Vl V2 j
+ (е2ез + езе2) (-т + -тЧ)л/2^з + (е3е1+е1е3) ("A + Дг) (14)
\ Щ t'3 ) \ L's Щ /
При обозначении = приходим к представлению, полученному Ноулсом и
Стернбергом
3
Q = ^ (2Л12 + iV2) eses -f (ej.e2 -f- e2e,) (-A -f -
S- 1 * "-
+ (е2ез + е;е;) (A + A ) + (e^ + e]e3) (A + A) • (15)
В работе Ноулса и Стернберга доказано, что матрица тензора Q
удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра при всех N для
деформированных состояний, в которых
2-КЗ< ?<2+КЗ. (16)
vi
В этой области деформирований материал - сильно эллиптический.
Не лишено интереса рассмотрение другого варианта материала Блейтца и Ко,
соответствующего заданию (3=1 в (1)
Тензоры Пиола и Коши для этого "гипотетического" материала представляются
выражениями
Р = э0 =p(vR-/3-"VrT), Т = ц/з 1/г (F - Е1за) (18)
VR
и в линейном приближении приводят к уравнениям состояния линейной теории
