Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
конечных деформаций,
э -= у [Я (б, -f- 62 ф- 83)2 -)- 2ц (82 ф- б2 ф- 83)], (2)
Джон рассмотрел несколько задач о распространении колебаний в нелинейно
упругой среде. Но по (1.6.4) и (1.4.10) 8к - главные значения тензора U-
Е, поэтому
бг + бз + бз^ф-^Ми-Е), ф- 6! + 6§ -= S2 = / j ((U - Е)2) (3,
и выражение (2) представляется в виде
э -= J ksi + list ~ ХЦ (и - Е) + ц/, ((U - Е)2). (4)
Джон назвал такой материал "гармоническим", так как решение плоской
задачи при этом задании э сводится к нелинейной краевой задаче теории
гармонических функций (или функций комплексного переменного). Подходящим
наименованием, используемым далее, может служить "полулинейный материал".
Обратившись к формулам (II.3.10), (II.4.11), (1.9.6), (1.6.1), имеем
/1 (U Е) 0 =MU)g--G0 ~-n-U-1 • • (С" ф- Сп1) • VR =U_1 • VR = Ox, VR
VR
M(U-E)2)0 =Л(О)0 -2/j (U)0 - 2VR -20х Vr Vr Vr
и уравнениям состояния для тензоров Пиола и Коши придается вид
Р = э0 = (Яф-2р)Охф-2рЛ^^[(А51 -2р) U-1+2pE]-VR,
VR
Т = V G VrT'P= YV + 2pF]^
= ]/|^(/1(У)-3)Еф-2р(У-Е)]-У. (5)
Удельная потенциальная энергия деформации э полулинейного материала
представима через инварианты симметричного тензора (р.рт)'/2.
Действительно,
Р- Рт= [(ASl-2p) 0х +2pVR] • [(XSl-2p) 0Хтф-2р\^т] =
= (Is, - 2(i)2 Е ф-2(х (A.S, - 2ц) (ох • VRг + VR • 0Хт) ф- 4p2U2 =
- ('ks1 - 2р)2Е + 4(х (^sx - 2р) U + 4p2U2
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА
или
p.PT - [(As,- 2ц)Е + 2ц11]2, (Р-Рт)'/2 - (Яя,- 2ц)Е+2ци. (6)
Первые инварианты этих тензоров оказываются равными
/, ((Р-Рт)'/2) - Л (As,E + 2ц (U - Е)) --- (ЗА + 2ц) s"
/, (Р • Рт) - 3A2s? + 4(xXs1/1 (U - Е) + 4ц2/! ((U - Е)2) =
- А (3А + 4ц) s? + 4p,2s2. (7)
Отсюда получаем
h ((P-PT)v0
si - ЗА+2ц и далее по (4)
4ц2
/, (P-PT)-^l+2ff Л((Р-РТ)'Л)] (8)
э ¦=
4ц
/,(Р Рг
1 + v
Г\ "Р-Рг)'/2
" 2 (А + Ц) '
О)
. По (5) имеем также
p. .VRT = [(As, -г^и^ + гцЕ]-^. -VRT = /, ((As,- 2ц) U +
-f- 2цЕ12) = 1, ((As, + 2ц) (U - Е) + 2ц (U - Е)2-J- As,E),
так что по (4) и (8)
о
р. . VRT - (As, -Ц 2ц) s, + 2ц52 + 3As, -=¦ As, + 2ц52 + (ЗА + 2ц) s, -
= 2э + /1((Р-Рт)1/.). (10)
Теперь по (4.17.3) удельная дополнительная работа эх также оказывается
выраженной через инварианты тензора (Р'РГ)1/2
эх = з + /i ((Р-Рт)1/2)=-2- |у,(Р- Рт)-
1 +V
/2((р.рт)'/г)
+ /,((Р-РТ)'/2)- (11)
Соотношение (4.17.5) позволяет определить градиент места
о
VR. Имеем
б/, (Р- Рт) = б (Р • Рт) Р- • 6РТ + 6Р- • Рт = 2Р- • 6РТ, в/,((Р-Рт)1/.)
=
= J- (Р . рт) - ¦•/,. . 6Р . рт = I. (Р . рт) - */, . . (Р . бр г + (6Р)
• Рт) =
= -j-{(p-pt)_1/*-p- •брт + [(р.рт)-'/"]т-р- -брг)=--(р-рт)-'/2.р. -6РТ
- использовано правило дифференцирования (II.3.10) и симметричность (Р-
Рг)_,/г.
166 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ.
Сославшись на определение производной (II.2.7) по тензорному аргументу,
получаем теперь
м Р-Рт)р-2Р, /1((Р-Рт)1/2)р = (р.рт)--/2.р (12;
и по (4.17.5)
VR^(3x)p^ir|E + [2p-T^;/1((p-PT)'/2)] (P-Pr)-V'}*p- (13)
В полулинейном материале оказалась осуществимой операция обращения
уравнения состояния (5).
При деформации, не сопровождающейся поворотом главных осей меры
деформации
0 х = Е, U - VR = Vu + E, s^V-u (14)
и в полулинейном материале по (5)
о о
P = XV-uE + 2pVu. (15)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности (2.7.4). (2.7.5)
приобретают вид
о о о ,п
(Я + 2р,) V2u + p0k -^0, kiV-u + 2(.m-Vu^=f^-. (16)
Это--частный случай уравнений равновесия линейно упругого оо/о \
тела при Vu = VuT (или Vxu = 0j. Нелинейность задачи обусловлена правой
частью краевого условия при "немертвых" поверхностных силах.
К уравнениям (16) сводятся задачи о растяжении стержня, об
осесимметричной деформации цилиндра, о центрально-симметричной деформации
сферы.
Акустический тензор в полулинейном материале. Главные напряжения,
определяемые формулой (5), равны
; -г [(^Sj 2р) + 2рщ] и т. д.
V2V3
Отсюда получаем
/Ь=Э!+2|Л__!_
vi -vz vxv2v3 \ 14+"а /
1+ 2[1 + ^3-(ЗК+2^У 1'1+И2
и подстановки в формулы (4.12.9), (4.12.10) определяют компоненты
акустического тензора в ортонормированием триэдре глав-
§5] ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА 167
ных направлений е,, е2, е3 тензора напряжений Т (или меры фингера*) F)
(А + 2ц) {v\Nl + v\N\ + vINl) + v2N2 +
^At^-i(ЗА+2ц) "ni
1 vi~hv3
Q12 = - V,v2 b3~(f ^2fX)- N,N2 = Q21 и т. д.
При обозначениях
fojy-(ЗА+_2ц)_4 Ау2 -(ЗА л -2ц) _ Ао3-(ЗА + 2ц) __ ^
Щ+Уз ' Уз [-У, ' lT + u2
V-^Ni -- А, ^2^2 У' ^3^3 ' ^
акустический тензор Q представляется выражением Q = (А + 2ц) (х2у2z2) Е
4-eje, (Су2~\-Bz2) -|-е2е2 (Az2 -)-Сх2) -|-+ е3е3 (Вх2 + Ау2) - (е,е2 +
е2е,) Сху - (е2е3 + е3е2) Ауг -
- (езе1 + е,ез) Bzx. (17)
Для параллельного е, вектора N имеем А\ = 1, N2 = N3 = О и тензор Q
приобретает диагональный вид
'Q = (А + 2ц) е,е, -f [(А + 2ц)"(щ + и2) + Ь3 - (3 А + 2ц)] е2е2 +
"Ь v^v3 ^ ^ ^ ^ езСз'
Условиями его положительности являются неравенства А 4~ 2ц >0, (A -f- 2ц)
(v1 -f- п2) -j- Ан3 ЗА -j- 2ц,
(А + 2ц) (у, +u3)-j- Ащ > ЗА + 2ц. (18)
Конечно, приняв в (17) Л72 = 1, Лг3 = У1 = 0, получили бы еще одно
