Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 24

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 742 >> Следующая

виде суммы. Следовательно, в системе имеется вырожде-
Общий обзор и основные представления
51
ние1). Это значит, что движения как по г, так и по 0 имеют одну и ту же
частоту 2)
со
дН dJ г
дН
5/е
mk2
(Jr -г /0)3
(1.3.51)
что приводит к замкнутой траектории. Если центральная сила зависит от г
по-другому, то траектория уже не будет замкнутой, как показано на рис.
1.6.
Цепочка Тоды. В качестве второго примера интегрируемого гамильтониана
рассмотрим трехчастичную цепочку Тоды [408] 3), гамиль-
Рис. 1.7. Трехчастичная цепочка Тоды.
тониан которой имеет вид
н = (pi -Г Р% + Рз) + ехр [ - (ф! - Фз)] -f exp [ - (ф2-фд)] ~г
-fexp[ -(фз -фа)] -3. (1.3.52)
Система состоит из трех частиц, движущихся по кольцу (рис. 1.7); между
ними действуют отталкивающие силы, уменьшающиеся по
В В оригинале - intrinsic degeneracy (внутреннее вырождение).- Прим..
перев.
2) В других канонических переменных (например, щ = Jr + Jo, р2)
вырождение означает, что одна из основных частот системы (со2 = дН/др2)
равна нулю.- Прим. ред.
3) См. также [454].- Прим. ред.
52
Глава 1
экспоненциальному закону. Помимо энергии, имеется, очевидно, другой
изолирующий интеграл - полный момент
Ps = Pi + P2 + Ps = const. (1.3.53)
Это следует из инвариантности гамильтониана при вращении системы как
целого (ф,- -ф/ + ф0), а также непосредственно из уравнений Гамильтона.
Чтобы учесть это явно, перейдем к новым мо-
у
Рис. 1.8. Эквипотенциальные кривые для гамильтониана Тоды.
Стрелка показывает направление роста потенциала.
ментам Рг = ръ Р2 = р2ц Р3, определяемому формулой (1.3.53). Используя
производящую функцию
F2 = Р 1фх -j- Ргфг + (Рз - Pi - Рг) фз. (1.3.54)
получим
Ш = -- \Р\ -)- Р2 + (Рз Р1 - Рг)2] ~г ехр ( Ф1) +
+ ехр [ - (Ф2 Ф1)] + ехр (Ф2) 3, (1.3.55)
где координаты Ф; канонически сопряжены с Pi. Так как гамильтониан не
зависит от Ф3, то, как непосредственно видно, Р3 = = const. Без потери
общности можно положить Р3 = 0, что соответствует выбору такой
вращающейся системы отсчета, в кото-
Общий обзор и основные представления
53
рой полный момент равен нулю. Других изолирующих интегралов как будто не
видно.
Рассматриваемую систему можно представить как частицу в двумерной
потенциальной яме. Для этого воспользуемся производящей функцией
^2 = (4 V3 ) \_{Рх-Уз Ру) Фх-j- {рх УЗ Ру) Ф^] (1.3.56)
а В
Рис. 1.9. Поверхность сечения Пуанкаре для гамильтониана Тоды при разных
энергиях Е (по данным работы [136]).
а) Е = 1; б) Е = 256.
и после неканонического, но тривиального преобразования
рх = 8л/3 рх, *' = *, р'=8Уз"ру, у' = у, Я = Я'/У3
будем иметь гамильтониан Тоды
Н =
~{Рх + Ру) +
24
ехр (2г/ 2 У3 х)
+ ехр (2у- 2 УЗх)+ ехр (-4у)
(1.3.57)
Эквипотенциальные кривые этой системы, схематически изображенные на рис.
1.8, плавно изменяются при удалении от центра и обладают симметрией по
отношению к повороту на угол 2я/3.
54
Глава 1
Если разложить гамильтониан Н по х и у до кубических членов, получим
гамильтониан Хенона-Хейлеса
Н =~{р;,~р1^х2 + у2)^х2у-------------~ г/3. (1.3.58)
Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем
параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема: Хенон и Хейлес [188]
обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии Н' = Е
происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом
оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой
энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего
интеграла. Форд и др. [136] исследовали численно гамильтониан Тоды Н,
ожидая получить такой же результат. Каково же было их удивление, когда
они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной
энергии Н = Е, т. е. все пересечения траектории с поверхностью х = 0
ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для
значений Е = 1 и Е = = 256. Эти результаты резко расходятся с данными
следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона-Хейлеса
траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до
такой низкой энергии, как Е = 1/8. Это различие связано, конечно, с тем,
что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей
изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон
[186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла
I = 8Рх(Рх-3У) -j- ipx -г У3 Ру) ехр [{2у - 2УЗх)] -
- 2/7*ехр (-4у)~ {рх-УЗ Ру) ехр [(2г/ + 2 УЗ х)] = const.
(1.3.59)
Инвариантные кривые на рис. 1.9 можно непосредственно вычислить, если
положить х = 0 и исключить рх из (1.3.57) с помощью (1.3.59).
Существование трех изолирующих интегралов Н, Р3 и / обеспечивает
интегрируемость гамильтониана Тоды х) (1.3.52). Однако даже в исходных
переменных интеграл I не соответствует какому-либо очевидному закону
сохранения или симметрии.
Нахождение интегрируемых гамильтонианов. Существуют ли какие-либо общие
методы проверки на интегрируемость конкретного гамильтониана? На
сегодняшний день ответ на этот вопрос отрицательный. Можно, однако,
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed