Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 237

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 231 232 233 234 235 236 < 237 > 238 239 240 241 242 243 .. 742 >> Следующая

символ йствительно можно считать градиентом, следует ниже.
144
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
Введя в рассмотрение лагранжев множитель (вектор) X, имеем 6Г3 = 555 VRr-
-SPdu-JJ R-6f0do + 5J5 b-V-6Pdw = 0.
V 02 V
Повторяя знакомое преобразование (II 1.3.10), имеем $$$ A,-V.6Pdt> [у
¦ (бР - >") - (v>.) Г - • бр] dv =
V V
= ^ >.п • 6Р do + X- n- 6Р do - J \ДТ- • 6Р dv =
= SSi-,..ep*-SHw-.sp*.
02 v
так как по (7) интеграл по о, отпадает. Сославшись на (10), получаем
бП7а = 555 (vr-г - пт)'-&Pdv + 55 (^ - R) • п • Pdo --- 0. (13)
V 02
Можно считать за счет выбора трех компонент X независимыми все девять
компонент SP, связанных тремя условиями (7) в объеме v. Приходим к
требуемым результатам
в v: VR--=VA.; на 0{. A.^R. ' (14)
о
Доказано, что тензор VR, определяемый по (5), представляет градиент
вектора - соотношение (5) интегрируемо
о Р.?.. дэу Psv
VR -- г % = -^ , Rs - rs • ^ , R - j dr • + R И0) (1 a)
aSo
- интегрирование проводится по любой кривой, соединяющей cJl(q\ q\ q3) с
od0{ql, ql ql).
Предположение об обратимости соотношения (1), на котором основывался
вывод принципа стационарности дополнительной работы, вызвало сомнения в
публикациях, последовавших за работой Л. М. Зубова. Койтер (W. Т. Koiter)
в двух статьях (1973, 1975), посвященных принципу Зубова, указал на
приемлемость предположения об обратимости, однако неоднозначной. Л. М.
Зубов, основываясь на полярном разложении тензора Пиола, доказал, что
представление (2) меры деформации через тензор Пиола имеет, вообще
говоря, четыре ветви, однако, если деформации не чрезмерно велики (угол
поворота триэдра главных направлений меры деформации Коши не превосходит
79 ), реализуется только одна ветвь (1976).
ПРИНЦИПЫ РЕЙССНЕРА И ХУ - ВАШИЦУ 145
§ 18. Смешанные принципы стационарности Рейсснера и Ху- Вашицу
В принципе стационарности Рейсснера (Е. Reissner, 1950) рассматривается
функционал Ws над вектором места R и тензором Пиола Р
Г3=Ш (P)-p0k-R]di> - JJ f°-Rdo-
v ot
-JJn-P. (R-Rx)do. (1)
°2
Здесь эх (P) - удельная дополнительная работа; Rx - заданный на о2 вектор
места. В другой записи в соответствии с (17.3) функционал Рейсснера имеет
вид
^3=ffinp)-P°k-R]^-Sf0-Rdo-$Sn.P-(R-RxMo. (2)
V 01 02
Варьируя функционал W39 получаем 6Г3 = 5$$ [бР- • VRT + Р- • 6VRT -
(эх)Р• • 6РТ - p0k-6r]dy -
V
- 5Jf°-6RJo-5Jn-6P. (R- Rx)'do -$$n-P.6Rdo.
Oj 02 02
Заменив поверхностный интеграл по о2 объемным, имеем JJn.p.eRdo^JJ п• Р-
6Rdo-JJ n-P-6Rdo=
Oj О 01
=555 [(v.p).6R-i-p. - 6VRT]du-55 n-p-6R^°
и это позволяет представить бW3 в виде
dav 0 \ (0 \
- VR ) • • 6РТ + ( V - Р + р0к ] • 6R
do +
dP
+ 55 (n-P-f°)-6Rdo-55 n-6P-(R -Rx)do = 0. (3)
01 02
Отсюда вследствие произвольности задания 6R и 6Р в объеме следуют
соотношения
о дэv О
VP + Pok = 0, ^-VR. (4)
146
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ Ц','|, 4
На части поверхности о4 произвольна вариация 6R, на части о2 -вариация
6Р. Итак,
Используя функционал Рейсснера, не надо заботиться о выборе тензора Р из
множества статически возможных тензоров, в этом преимущество принципа
Рейсснера перед принципом стационарности дополнительной работы. Как и в
последнем выполняется соотношение (17.5) -тензор Пиола, определяемый из
принципа Рейсснера, удовлетворяет уравнению состояния материала.
Задавшись выражениями вектора места R в актуальной конфигурации и тензора
Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных
координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение
функционала W3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений
Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием
"двух аппроксимаций" (R и Р) с успехом применяется в задачах линейной
теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для
аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением
удельной дополнительной работы эх (Р), конечно, сохраняются и при
составлении функционала W3.
Эта трудность избегнута в принципе стационарности Ху - Ва-шицу (К.
Washizu, 1955).
Функционал задается выражением
Здесь С -некоторый тензор второго ранга, э (С) - выражение
удельной потенциальной энергии, в котором VR заменен тензором С. 1К4 -
функционал над тремя независимыми величинами Р,
С, R; по R составляется выражение VRT.
Вычисление вариации 61К4 в значительной части повторяет (3). Получаем
на о4: nP = f°; на о2: R ^Rx.
(5)
W*== Ш [э (С) - Pr- • (с - VRT) - p0k-r] dv -
V
(6)
0
0
бГ*=Ш [(fe-p)--6CT-(v.P + p0k)-6R
V
(с -vr). -6P dv+(n-P-f°).6Rdo-
n- 6P- (R-Rx) do = 0.
(7)
sigl ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - остроградского 147
Уравнения Эйлера и краевые условия в силу независимости
вариаций 6Р, 8С, 6R приводятся к виду
л, оо
Р = §' C = Vp- VP + Pok = 0, (8)
на ог: n-P = f°; на о2: R = RX- (9)
В записи (8) представлены как уравнения статики, так и определяющее
уравнение.
§ 19. Принцип Гамильтона - Остроградского
Действием по Гамильтону называется функционал над вектором места R(g\ q2,
Предыдущая << 1 .. 231 232 233 234 235 236 < 237 > 238 239 240 241 242 243 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed