Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Их главные значения в этом базисе, напоминаем, равны v2, v~2.
Имеем
(О, тфп, (0, тфп, 10, тфп, _
Qmn - Q =П Smn=l В 5)
mn \l, m - n, \v2m, m--n, mn \vm2, m = n
и отличными от нуля оказываются: а) .три компоненты
rssss ________ 1 I ^
2 Vs
~~г Т CiC + й22С -h 2\3-01 -f-
. vs
+ 2й02о2 -f- 2{112i>s + + 2i];,0s
(6)
б) шесть компонент
xsskk __ A I 2
2 Vk V1V2V3
~~Г A ClC + &22ys Vk +
. vk
+ Cl( 1 + (Vk + ~Г ] (VlV\ + C)
(7)
^SSkk-ф- r^kkss^
в) три компоненты
TSkSk .
Hi +^2 (C + C)]- xshsk = xksks = xkssk. (8)
Всего в рассматриваемом базисе имеется 12 различных компонент.
120
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ.
Эти соотношения можно значительно упростить и придать им отчетливое
содержание, основываясь на представлении (3.9) главных напряжений сг^
через главные значения iff меры деформации Фингера (или Коши - Грина).
Сославшись на формулы (3.15), (5.5), получаем
и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7). Н^ак,
Эти компоненты тензора упругостей можно назвать касательными модулями
продольного и поперечного растяжения, так как
¦Щ--тангенс угла касательной кривой сг. (vf, v\, ojj) на плоско-
dvk
сти (v%, eg.
Формулу (8), имея в виду (3.9), легко представить в виде
и эту величину следует интерпретировать в терминах "главных напряжений
сдвига" и "главных деформаций сдвига".
§ 9. Тензор упругостей
По (1.4) тензор упругостей Р0 представляется второй про-
VR
изводной удельной потенциальной энергии деформации по градиенту места
Использовав представление градиента места (1.3.11) и производной тензора
по тензорному аргументу (II.4.4), приходим
(9)
(1)
§ g] ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ 121
к компонентному представлению
Р = Эо =ГИГ"^-, Р0 , (2)
VR VR dypJ9dVmtn
а в декартовом базисе
po - uv g/* Sxn- • (3)
°~даР da"
Другие представления следуют из правил вычисления производной
произведения тензоров и замены аргумента при дифференцировании по тензору
(II.4.10), (II.4.12)
Р= 2эо • VR, Р0 = 2эо-0,п + 2(-'-!э0--rsrt |.VRrV =
VR \3vR J
= P-Vr-C" + 2 {[aGG • -(Сц + Сщ)-Vr] - -г,г,} ¦ VRrV
- были использованы также правила (II.4.13), табличка (1.15.3), формула
(1.9.6). Приходим к соотношению, не предполагающему изотропии среды
Р0 =P-Vr.Cn-f2[3GG--(r^+r^)].VRr%. (4)
VR
Для изотропного упругого тела
э0 = ф0Е + <PjG + cp2G2, (5)
причем фГ определяются формулами (3.19). Повторив ход вычисления в § 7,
имеем
2 2
3gg = X UrG^G1, + -j (фхЕ -f ф20) • (Сц+Сщ) +
N = 0 Г=0
+ "2*cP2^h'' (^п+^ш)}" (9)
причем коэффициенты ?д,г выражаются через фг формулами (3.19),
определяющими фг через э
122
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
После подстановки (6) в (4) получаем
0 2 2 0
0
Р0 =p.Vr-C" + 4VR. J] 2?*rF"VR.Fr +
+ 2 (ф]Е + cp2G)- [с"- • {VR--(Си +СШ)}] • VR +
ГО "10
+ 2cr2Cu--[vRT-G-(Cu + Cm)]-VR (8)
- оказалось возможным подобно (7.9) представить Р0 в несо-
VR
держащей базисных векторов (инвариантной) форме.
В натуральной отсчетной конфигурации, повторив вычисление § 7, получаем
повторяющим (4.7.12), (4.7.13).
Формулу, выражающую Р0 через TF, можно получить, обра-
VR
тившись снова к правилам (II.4.10), (II.4.12)
Обратившись к формулам гл. 1, § 9, приходим к выражению
Р" =4Ее[(1А- + 2-|г+^-)(ф" + ,р, + ф,)]1
V R
и сравнение с (4.7.2) приводит к соотношениям
(10)
VR
приводимому также к виду
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
123
§ 10. Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела
Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в
"перемещениях", получаемых после замены тензора напряжений его
представлением через линейный тензор деформации, а последнего -выражением
через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется
возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами
(Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации
(Коши - Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения
предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации.
Дивергенция тензора Пиола представляется выражением (1.19.23)
О 0 0
V.p = r*.po • • VRT-AT-rft, (1)
VR
преобразуемым по (1.19.13) к виду
V-P = r*.p0 •-rft-VVRT = rft-P0 -~VRT. (2)
VR VR дЯ1
Заменив теперь градиент места его координатным представлением, придем к
трем уравнениям движения
V*-'Ро • -fP"A, = PoV (3)
VR
линейным относительно вторых производных компонент в отсчет-ном базисе
вектора места актуальной конфигурации. Эта система, разумеется, имеет
очень сложную структуру: первые ковариант-ные производные у/ в нее входят
нелинейно, как через тензор упругостей Р0 , так и в развернутых записях
вторых ковариант-VR
ных производных.
Заменив в (3) тензор упругостей его представлением (9.2), придем к
уравнениям движения анизотропной упругой среды
о - 9 9о-ВД^ + Р,Л = РсА, (9-1. 2, 3). (4)
dVk %sdVi 1Ч
Заменим теперь в (1) тензор упругостей Р0 его представле-
VR
Нием (9.11) через Tf. Слагаемые, содержащие Р, при этом
124 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ |ГЛ. 1
