Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 226

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 220 221 222 223 224 225 < 226 > 227 228 229 230 231 232 .. 742 >> Следующая

может отсутствовать, если отсчетная конфигурация - натуральная.
Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой
отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной.
Далее э задается, как функция инвариантов меры деформации Коши -Грина
или, что то же самое, меры Фингера, определяемых формулами (1.5.8)
Эй
~дГ СС дМ (СС' ^ ^'СС) ^
дэ
и уравнение состояния (1.8) приводится к виду
д, U U д U U
+ -?c^R,Rft + |iC^(R,RA-F + F.RftR,) . (7)
9 = э(1АО), /а(G), /.(G)), MG) = /*(F). (1)
108 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
В другом представлении используются инварианты меры Альманзи g (или G'1)
a = 3(/1(g), /2(S). /3(g)), Mg) -MG'1). (2)
Они связаны с инвариантами Ik(G) формулами (1.5.8).
Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной
постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации
9 = 9{h( Е), /я (Е), I з (Е)) = э (3, 3, 1) = 0. (3)
Уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера следует из
(!), (1.8) и формул дифференцирования инвариантов (II.3.3)
Т = 2 ]/-§- (гр0Е + + tpaF*) = 2 )/F-^f . (4)
Здесь введены обозначения функций от инвариантов 1к (F)
. , дэ j дэ . дэ . дэ /г.
37п' ^~
Это представление следует предпочесть (3.5.9), так как выражение тензора
V через вектор места R весьма сложно. Напомним, что формула (3.5.8) была
получена вне всякой связи с потенциальной энергией деформации, для
"упругого", не обязательно "гиперупругого" материала. Конечно, повторив
ход вывода уравнения (3.5.8), можно прийти и к формуле (4) для "упругого"
материала. Но в гиперупругом материале функции фг связаны
дифференциальными соотношениями •
-щ + / А) = - §7? . ^ + 1 ^ - 1/Г '
3 di., ~ а/, ' w
получаемыми исключением потенциала э из формул (5), аналогично (II.7.18).
Представление уравнения состояния через меру Альманзи можно, конечно,
получить по (II.3.7), (1.9), (2)
Т=2|/|F.9f = -2 /-f-Vg.
Получаем
Т=2 (ф0Е + -f ф^2) (7)
§3]
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
109
г, дэ
и в соответствии с (5)
-(ж+,'ж)- "-?' "-''torn
Конечно, фг связаны дифференциальными соотношениями вида (6).
Главные направления тензоров Т и F совпадают, как это следует из
уравнения состояния (4). Их главные значения связаны соотношениями
2 V ¦§¦ =vf
г=о
(9)
(fe=l, 2, 3).
Здесь ak-главные напряжения и по (1.4.10), (1.5.7)
vl = Gk = Fk^(\ + bky
(10)
- главные значения меры деформации Фингера и Коши - Грина. Коэффициенты
фг также выражаются через vf, v\, v\ при посредстве инвариантов
/i(F)=t)? + yl + t)l, I2(F) = vlvl + vtvt + vlvl Is(F)=vlvlvl (11)
Главные силы, определяемые по (2.2.25), задаются формулами
и
тГЪ п -
. СТЬ ; CTft,
и по (9)
tt - 2t"j
f а = 2v2
in 2 tn
Vk vk
ti = V2v3a1, t2 = v3v1a2, t3= v1v2o3
(12)
дэ , /..9i I,, дэ , _.9y 9 ^
-n: + (vl + v!)1j7 + vlvt
-^+m^4h+vlvl^i
-viv,
дэ
wT
дэ
LU2 dJ3
^t(vlt v2, v3), - t (P2> t"8. n)> = / (v;i, V1, v2)
(13)
или в другой записи tb - 2v
-+(h~^^- + IsVk2 -
dl
dl.
(14)
Рассматривая теперь э, как функцию переменных vk, имеем
ди
dl,
din
ПО ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
, ОЭ ОЭ ,1С,
= = <16>
Сравнение с (14) приводит к формулам
дз дэ
Ч ~~~дд/г
Можно было предвидеть этот простой результат; действительно, элементарная
работа б'аг=бэ сил tk, распределенных по граням кубика с ребрами ufe--l-
)-8ft, параллельным главным направлениям меры Фингера, на виртуальном
перемещении bvh = = 6(l-f-6ft) граней из актуальной конфигурации равна
6э = Е = Е t"&vk,
k=\ к k=i
откуда сразу же следует (16).
Представление тензора Пиола в изотропном упругом теле по его определению
(2.6.2) и определению мер деформации (1.4.4), (1.5.3) приводится к виду
Р = 2VrT- (ф0Е + %F + r|)2F2) = 2 (i|)0VrT-pr|)1VrT- VRT- VR +
+ o|)3VrT- VRT- VRi VRT - VR) = 2 (ф0 VrT + ^VR + tp,GVR),
или
P = 2(^0G-1 + rl>1E + 3|)2G)-VR. (17)
Заменив здесь G_1 с помощью тождества Гамильтона-Кэли (1.9.22), приходим
к еще одному представлению
P = 2^0E + <p1G+<p2G2).YR (18)
с коэффициентами
дэ . г дэ , . дэ ( дэ . г дэ \ дз
Фо~ dh + 2а7Г' ф1"~ \р77+ 1 а77/' Ч>2=='Ш7'
(19)
Представлениям энергетического тензора по (2.6.11) придается вид
T" = 2}/f [ф0О-1 + ф1Е + ф2О] = 2 [ф0Е + ф1О + ф2Оа].
(20)
В отсчетной конфигурации тензор напряжений - шаровой
T_2?rt. + * + ""-,2E(^-+2|l- + -t)" = -PE, (21)
дэ , 0 дэ . дэ \ о
р~~2[Л7+2 Ж + ш) (22)
- нуликом указано, что после дифференцирования инвариантам придаются
значения /j ^/2 = 3, /"==!,
§4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ Щ
Отметим еще, что по (11) и (16)
<23>
так что
'= л/ -------- - е~!^Н)- (24)
V G d In У дН ' К '
где Н - логарифмическая мера деформации (1.6.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола - Кирхгоффа имеем
также
дэ дэ дэ
^7t
тх = 2 -- - -- t-i-t --?L- (951
1 <3G дС ' dCV ' 1'
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные
преобразованием подобия
Предыдущая << 1 .. 220 221 222 223 224 225 < 226 > 227 228 229 230 231 232 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed