Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
з
dgyH -wc)e/A = 0. (14)
/(=i
Например, при m-1, Cj-et
ctg-у ("2-"J (е2е3 + eaes) ^0 (15)
и при любом СО Ф л
и.г^и3, U ^ ("1 -м2) ejet + "2Е (16)
§ 7]
ИЗОТРОПНЫЙ ТВЕРДЫЙ МАТЕРИАЛ
99
-трансверсально-изотропный материал, подвергнутый растяжению вдоль оси
трансверсальной изотропии и преобразованию подобия с коэффициентом и2,
остается трансверсально-изотроп-ным в новой отсчетной конфигурации.
Материал остается "неискаженным", сохраняет свои симметрии.
При
С0--=Я, Ctg-^- = 0, 0 = 0е,
условие (15) выполняется для моноклинного материала независимо от главных
значений тензора искажений, если одна из его осей имеет направление оси
моноклинной симметрии. Моноклинный материал остается таковым при любом
растяжении вдоль этой оси и в перпендикулярных ей направлениях. Не теряя
присущей ему симметрии, он не приобретает новых симметрий.
Сохранение группы равноправности ортотропного материала требует
совпадения всех трех осей с]; с2, с3 ортотропии с главными направлениями
тензора искажений (с,я^=ем, т - \, 2, 3). Подвергнутый растяжениям по
этим направлениям материал остается ортотропным.
При афл условие (14) принимает вид
{и2 и3) (^2^3 Ф- езег) + (из ^i) (e3ex ф- е^з) ф-
ф- (п3 п2) (е1е2 ф- e2ej) ^ О
и выполняется только при преобразовании подобия
== иг и3, U = аЕ.
В частности, только при таком преобразовании сохраняется группа
равноправности кубической симметрии.
Теорема переставимости (10), конечно, выполняется при тривиальном условии
U -аЕ независимо от типа анизотропии, в частности, для триклинного
материала. Ни потеря, ни приобретение симметрий в этом материале
невозможны.
Пусть со = п, и2фи3. Этим, как говорилось, определяется моноклинный
материал. Но можно трактовать иначе: подвергнутый растяжениям и2, и3 в
двух взаимно перпендикулярных направлениях, перпендикулярных оси
трансверсальной изотропии трансверсально-изотропный материал становится
моноклинным, изменяется его группа симметрии. Точно так же материал с
кубической симметрией становится ортотропным при сообщении ему растяжений
вдоль трех осей кубической симметрии.
§ 7. Изотропный твердый материал
По определению изотропного материала его группа равноправности gv в любой
неискаженной и-конфигурации, являясь подгруппой группы и всех
унимодулярных преобразований,
4*
100 УРАВНЕНИЯ состояния 1гл. а
содержит группу всех ортогональных преобразований
ocgvcu. (1)
Твердый материал характеризуется наличием в нем неискаженных конфигураций
v с группой равноправности g~--некоторой подгруппой ортогональных
преобразований
g.co. (2)
Иначе говоря, ни при каком неортогональном преобразовании неискаженное
состояние не остается неискаженным.
Из (1) и (2) следует, что в твердом изотропном материале имеются
конфигурации v (неискаженная по определению "изотропность") и v
(неискаженная по определению "твердость"), такие что
gv=30, g~<=0. (3)
Следствием (1), как доказывается в теории групп, являются утверждения
или gv = o, или gv^u. (4)
Приняв второе gv~u и основываясь на (4.20), можно было бы найти
преобразование v->v, определяемое тензором S, такое что
g- - S_1gj,S = S_luS= и (5)
V
в противоречие со вторым соотношением (3), так как оси. Из
(6.9) следует также, что группы gv и g~-сопряженные внутри' группы
ортогональных преобразований. Но gv---= о по первому соотношению (4);
поэтому g~-o.
Итак, группа равноправности изотропного твердого тела в его неискаженной
и-конфигурации - полная ортогональная группа
gv^o. (6)
Любое ортогональное преобразование переводит неискаженное состояние в
неискаженное. Никакой опыт над призматическим образцом, изготовленным из
твердого изотропного материала в неискаженном его состоянии, неспособен
указать, как была направлена в теле ось образца до его изготовления.
Напомним, что осуществляемое тензором ,S=U 0х преобразование одной
неискаженной ^-конфигурации в другую v также неискаженную конфигурацию
выполнимо при условии (6.10), соблюдающемся лишь для преобразования
подобия S = aE. Изо.
УПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ
J0I
тройное твердое тело остается таковым только при этом преобразовании.
Например, твердый изотропный материал становится трансверсально-
изотропным при преобразовании (6.16).
§ 8. Упругая жидкость
Простой материал представляет простую жидкость, если для некоторой
отсчетной и-конфигурации его группа равноправности gv является
унимодулярной группой
В этом определении уже содержится утверждение, что жидкость - изотропный
материал. Сославшись же на (4.20), можно сказать большее: группа
равноправности жидкости остается унимодулярной в любой конфигурации.
Жидкость лишена предпочтительных конфигураций, все ее конфигурации -
неискаженные. Ранее уже отмечалось, что изотропный материал -либо твердое
тело, либо жидкость -см. (7.4).
Уравнение состояния упругой жидкости, как изотропного тела,
представляется выражением (3.5.9), но в значительно упрощенном виде. Во-
первых, любая конфигурация является отсчетной, так что V = E; во-вторых,
