Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
поворот испытуемого образца. Этому качественному описанию соответствует
определение: простой материал тверд, если можно указать такую от-счетную
и-конфигурацию, что соответствующая ей группа равноправности g является
подгруппой ортогональной группы,
96
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
В противоположность (5.4) для этой конфигурации, называемой неискаженной,
ё^о. (1)
Термин "неискаженная конфигурация" здесь и в определении изотропии § 5
применен в различных значениях. В § 7 будет показано, что для изотропного
твердого тела эти определения равнозначны.
Простое твердое тело анизотропно, если его группа равноправности g
относительно неискаженного состояния представляет подгруппу ортогональной
группы. Тип анизотропии определяется заданием g. Элементы этой группы
удовлетворяют соотношению о
(5.4) для всех VR. Ему, очевидно, удовлетворяет группа {Е, -Е} из двух
элементов; это позволяет при задании анизотропии ограничиться
рассмотрением собственно ортогональных преобразований.
Можно придумать, разумеется, сколько угодно групп поворотов g, но только
двенадцать групп исчерпывают описание симметрий в реальных твердых телах.
Пусть v, v' - две неискаженных конфигурации, причем в обозначениях § 4
г' = г-О, r(-r,-0, s = r'r; = r*r,.0 = 0
и по правилу Нолла (4.16)
g' = 0-gO. (2)
Здесь g - группа равноправности неискаженного состояния (и-кон-
фигурация), g' - группа равноправности "'-конфигурации, также
неискаженной, поскольку ортогональное преобразование не сопровождается
изменением формы. Группы g, g' - сопряженные внутри ортогональной группы.
Термин "тип анизотропии" следует понимать в широком смысле, он определен
группой равноправности g', а не группой специальных поворотов g,
непосредственно связанных с характеристиками симметрий материала.
Например, симметрии ортотропного материала определяются преобразованиями
вида (II.5.3)
g={0?" О?,, О*}, Ояек, = 2с"ск-Е, (3)
а его группу равноправности ("тип анизотропии") предпочтительно задать по
(2) соотношением
.?' = От-{Ос"1( 0" 0?3}-0 = (2с(с;-Е, 2С&-Е, 2с&-Е} (4)
- в этой записи отражена возможность введения вместо орто-нормированного
триэдра Cj, с2, с, любого ортонормированного
триэдра c'k = ck O. Запись (4) выражает свойство материала
§6] ТВЕРДОЕ ТЕЛО 97
в инвариантной форме, не связанной со специальным выбором триэдра
направлений сп с2, с3.
Назовем, переходя к более общему рассмотрению, g и g группы
равноправности твердого материала, соответствующие двум неискаженным
конфигурациям v и v. Согласно правилу Нолла (4.15)
0= S-i-OS, S-6 = 0S, (5)
причем S = Hr^-градиент места, соответствующий преобразованию v->v и-
конфигурации в V. Как всякий неособенный тензор, тензор S представим его
полярным разложениям
S = UOx = OxV, V = 0XT-U-0X (6)
- сохранены обозначения тензоров искажений и сопровождающего деформацию
v-"-v ортогонального тензора. Конечно, U, V, 0х имеют значения,
отличающиеся от ранее так же обозначенных величин для деформации Теперь
по (5) и (6) имеем
и 0х 0 = 0-и 0х - 0 0Х(0ХТ- и 0х) =0 0х- V (7)
и по теореме о единственности полярного разложения
б = Ох О = О Ох, и б = б-V, б = 0хт00х. (8)
Последнее равенство подобно (2) в терминах групп переписывается в виде
? = 0XTgOx, (9)
но при более общем предположении о преобразовании v->v g и g-группы
равноправности внутри ортогональной группы. Теперь по (8) и (6)
и = б• V бг ^ б• 0х г• и • 0х ¦ Ог - О¦ 0х • 0х г• и • 0х • 0х г• 01.
Пришли к искомому соотношению
U = OUOT, 0TU = U0T, UO = OU. (10)
Оно выражает, что тензор О eg, задающий преобразование отсчетной
неискаженной конфигурации v в отсчетную также неискаженную конфигурацию v
переставйм с тензором искажений U деформации v-*v. Доказывается обратное
предложение: при условии (10) тензор б в (5) -ортогональный (б-бт = ?').
Иначе говоря, группа равноправности geo, если gczo. Заменив для
4 А. И. Лурье
98 УРАВНЕНИЯ состояния [гл. 3
этого S в (5) его выражением (6), имеем
О = 0Хт и-10-и 0х = 0ХГ-00Х, 6Т = 0ХТ-0Т-0Х,
0 0т - 0ХТ О -0Х-0ХТ От-Ох = Е,
что и требуется.
Подставив теперь общее представление ортогонального тензора (1.11.10) в
соотношения переставимости (10), имеем
U-0 ¦= U cos со -|- (1 -cos со) U - сс - U X csinco,
О - U -= U cos си-)- (1 -cos со) сс - U - сх U sin со,
так что
U - О -О - U - (U сс-сс - U) (1 - cos со)-)- (с х U - Uxc) sin со 0
или
U- сс-сс-U + (сХ U - U хс) ctg у = 0. (11)
Далее, как и в II, § 5, рассматриваются моноклинная, ортс-тропная,
кубическая и трансверсально-изотропная группы симметрии.
Тензор U представляется через его главные значения и главные направления
U ~Т WgCoCg "(" С/двдСд (12)
и соотношение (11) преобразуется к виду
3
X u/eeft'c (еД ceft) + uk (CXefteft-)-eftcxeft) ctg у ] =0- (13) k= i L
-1
Примем, что вектор еА имеет направление одного из векторов ст
ортонормированного триэдра с1; с2, с3. Заменив в (13) с на ст (т -
фиксировано), имеем
е с -б °' k^m'
еА-ся- кт-у 1( k = ni' c#Xei = geHeji е*хсй = -ейИе(.
Первая группа слагаемых в (13) отпадает, приходим к соотношению
