Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 220

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 214 215 216 217 218 219 < 220 > 221 222 223 224 225 226 .. 742 >> Следующая

выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями
инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в
"нештрихованном и штрихованном" базисах. Отсчетиая конфигурация
оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором,
позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое
тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная
конфигурация в этих рассмотрениях предполагается Неизменной.
90
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. 3
1 2
Рассматриваются отсчетные конфигурации о, о; места частицы
1 2
aSlq1, q2, qs) в них задаются векторами г, г. Однооднозначная зависимость
между ними представляется равенствами
?=?(;).<.>
12 2 1 - первое определяет преобразованием->-v, второе v->-v. Набла-
операторы, определенные в этих конфигурациях, обозначаются
1 1 0 2 2 д
v = r^ (2)
1 2 2 1
и градиенты преобразований v->-v, v->-v равны
1 21212 2 12121
v-*- v: Vr - rsrs - S; v->-u: Vr - rsr5 --- S'1. (3)
k
Градиенты места VR в актуальной конфигурации теперь представляются
формулами
VR = r'R5 S• VR; VRrsRs-= S"1 VR. (4)
Уравнение состояния записывается в одном из видов
Т = <Г (vr)=#'(s-Vr)^(T (vr)^/(s-1-Vr). (5)
1 2
Здесь ST, S' - отличные друг от друга функциональные зависимости,
описывающие одно и то же напряженное состояние. Подобно этому отличаются
друг от друга уравнения одной и той
же кривой, записанной в разных системах координат. Но не
исключено, что они сохранят вид, например, когда координатные оси,
являющиеся осями симметрии кривой, повернуты на 180°.
Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной
конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость
тензора, напряжений от градиента места, иначе говоря, запись уравнения
состояния. Градиент такого
1 2
избранного преобразования v-*v обозначается Н (вместо S),
1 2
индексы над S' отбрасываются S' -- S' - S'. Формулы (5) должно теперь
записать в виде *)
VVR, VR: <|г( Vr) ^ (vR j = <F (h-Vr) = S~ (h_1-Vr) . (6)
*) Знаком v* обозначается "для всех х".
$4j ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА 91
Из них следует, что никаким опытом над напряженным состоянием нельзя
обнаружить, был ли материал подвергнут в отсчет-1 / 2 \ 12/ ной
конфигурации v у или v) Н-преобразованию v-*-v I, или
2 1 \
Н^-преобразованию v->v) или не был.
Изменение плотности обнаруживаемо, Н-преобразования должны оставлять
плотность неизменной
det Н - ± 1 (7)
(не исключены преобразования, сопровождаемые инверсией).
Самый простой пример представляет мысленный опыт с нагружением кубика
силами, сохраняющими величину и направление. Грани кубика,
перпендикулярные осям XYZ, назовем 1, 2, 3; нагружение осуществляется
силами, параллельными оси Y. 1 1 2 В и-конфигурации нагружена грань 2, а
преобразование v->v осуществляется поворотом кубика на 90° вокруг оси Z.
Нагруженной окажется грань 1, причем деформация кубика, значит, и
напряженное состояние в нем может измениться, может остаться неизменным.
В первом случае поворот не является, во втором является Н-
преобразованием. То же можно повторить о повороте на 90° вокруг оси X,
когда нагруженной становится грань 3.
Н-преобразования образуют группу. Это значит, что если соотношениям (6)
удовлетворяют Нх- и Н2-преобразования, то и преобразования Hj-Hg, H2HX
являются Н-преобразованием. Н-1 -также Н-преобразование; единичный тензор
Е, конечно, Н-преобразование.
Доказательство очевидно, Достаточно в соотношениях
VVR: J^(vr)=ct(hi.Vr), "Г (vr) =<F (н,-Vr) (8)
2 2 2 2 сделать замены VR-/H2VR в первом, VR-/H^VR - во втором; это
допустимо, поскольку эти соотношения выполняются
2
для всех VR. Приходим к равенствам
^(h2.vr)^ (h^h.-vr), "t(h1-vr)="^(hj.h1-vr)
и по (8), как и требуется,
<r (vr) = & (h^vr) =<#- (н2-vrJ =<r (н^Н,vr) =
= <#¦ (н.-Hi-vr) .
Группа Н-преобразований, обозначаемая g, называется группой
равноправности материала; тензоры Н - элементы этой группы
Н eg. (9)
92 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГЛ. 3
Через и обозначается группа всех унимодулярных преобразований-
преобразований, сохраняющих объем. По (7) группа равноправности -
подгруппа унимодулярной группы
gczu. (10)
Напомним, что Н-преобразование отнесено к некоторой отсчетной и-
конфигурации; по ней с помощью Н-преобразования определяются отсчегные
конфигурации, экспериментально от нее неотличимые.
1
Рассмотрим материал, обладающий в м-конфигурации группой 1 2 2
равноправности g, а в и-конфигурации - группой g. По (5) и (4)
VVR: Т = еГ (vr) jr (vr) = S (s-1-Vr) , (11)
a no (8)
VVR, H,c=g: <t(vr)-<T (Hj-Vr) . (12)
l l l
Условие VVR допускает в (11) замену VR-^HjVR, так что 1 ( 1 \ 2 /' 1 \ s
(Нх-VRJ vs-^Hj-vrJ
и это соотношение по (И) и (12) можно записать в виде
4Vr) =Jr (Hi-VR) -=jr (s-^Vr) -i" (s-^H-Vr) . (13) Заменив теперь по (4)
S-1 VR = VR, VR = S VR,
no (13) получаем
2 2 / 2 \ 2 / 2' 2/ 2 \
VVR, H2cng: S' (vRj = #-(H2-VR)=Jr(s-1. Ht S VRJ . (14) Пришли к
соотношению, называемому правилом Нолла
Предыдущая << 1 .. 214 215 216 217 218 219 < 220 > 221 222 223 224 225 226 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed