Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 216

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 742 >> Следующая

§7] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА 77
Грина, получаем
бЧ,)=у |/|'Г--6С= |/|т''..бС. (6)
Эта формула объясняет наименование Т" энергетическим тензором напряжений.
В линейной теории элементарная работа определяется сверткой тензора
напряжений с линейным тензором •деформации.
Представление через тензор напряжений Коши по (6.11) и (4) приводится к
виду
Ь'а{е)= У j VrT T Vr VR. • 8VRT = |/ |т. • (8VRT) • VrT =
= ]/f T.-(V6R)K (7)
По определению меры деформации Фингера (1.5.2), (1.5.3) и по (4)
6F = (SVRT) • VR + VRT- 6VR = (V8R)T• F + F V8R,
V6RT = (SF - F • V8R) • F-1
и после подстановки в (7) приходим к выражению
У(F_1-T - • 6F - F_1-T - F • ¦ V6R),
значительно упрощающемуся, если тензоры Т и F ереставимы (это
осуществляется в изотропном упругом теле). Тогда по (7)
в'<*(*)=4 yjT-'F-'-dF. (8)
Вспомнив также определение (1.6.10) меры Генк у имеем по (8) (вывод
формулы (9) приведен в конце этого параграфа)
]/|т--бН (9)
- это наиболее простое определение удельной элементарной работы через
тензор напряжений Коши, пригодное, однако, лишь в изотропном упругом
теле.
Переходя к движению, заменим виртуальное перемещение 6R действительным
d'R = vdt; следуя (1), теперь получаем
ySf = jjj pk-vdK+jJtN•vdO=Jj'j'(pk-¦|-V.T).vdV' +
v о v'
+ ЩТ. -Vv'dV - JpwdK+y [[Jt--(Vvt + Vv)pF (Ю)
г v' ' V
7§ НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
- использовано уравнение движения (3.5) и симметричность тензора Т.
Первое слагаемое преобразуется к виду
V v v
Здесь Ж- кинетическая энергия частиц среды в рассматриваемом объеме
*=THIp"v'v<i"=Tnipv'"iV'=HHv'v'im- (11)
v V V
Второе слагаемое в (10), в соответствии с обозначением (1.13.10)
записываемое в виде
+ (12)
г г
определяет величину, называемую мощностью. Пришли к уравнению работы
Ц[Г = & + № (13)
- сумма материальной производной по времени кинетической энергии и
мощности равна работе внешних массовых и поверхностных сил за единицу
времени.
Представление мощности через тензор Пиола приводится к виду
= = УV°RT• Р• • \vTdV =
V г
7dv
V
и по (1.3.9)
¦*'=ШТ-'ВЛМИР''^,А'- ел
V v
Замечание. Вывод формулы (9). Тензор exp М по определению равен
ехрМ = Х -f = E+M + ^M2 + I-M3+.. .
k =0
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА
79
и представление его вариации имеет вид б exp М=6М + ^(М • 6М+6М • М) +
^(М2 • 6М+М • 6М • М+
k~\
+ бм-м2) + .. . =
Тензоры М и Q предполагаются симметричными и соосными. По правилам
свертывания получаем
Q--6expM-Q--(6M + M-6M+iM2-6M+...) =
Q-
6М+ ?>.вм
k = l
: Q • • (exp М) • 6М = Q • exp М • • 6М.
Возвращаясь к (8) и к представлению (1.6.10) меры Генки, имеем теперь
F-1 = ехр (-2Н), 6F = 6exp2H,
Т•.F_1-6F = Т-exp (-2Н)-ехр2Н- -б2Н = Т- -2бН,
что и требовалось.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Простое тело
Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых
сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное
состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в
соответствии с этими уравнениями; будучи необходимыми условиями
осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания,. так
как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной
и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех
сред общие теоремы механики - количеств движения, моментов количеств
движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены
физическими закономерностями, определяющими поведение материалов
различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые
также определяющими уравнениями) - соотношения связи тензора напряжений с
величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только
механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в
гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих
закономерностей, но только "в конечном счете". Неизбежно умозрительное
рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений
состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической
модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь
сведения о нем экспериментальным путем - "чем позже, тем лучше" (Синь-
орини).
Для уравнений состояния существенны понятия "теперь" и "раньше",
исключение времени обеднило бы их содержание. Статическое рассмотрение
следует отложить на более поздний этап.
Весьма общее описание напряженного состояния "здесь и теперь", иначе
говоря, в данный момент t в частице, отмеченной в отсчетной конфигурации
местом г (р1, р2, р3), состояло бы в задании тензора напряжений Т, как
функции г (р1, р2, р3), t и временного переменного
г^-t - s^Lt, 0^s<oo, (1)
§11
ПРОСТОЕ ТЕЛО
81
входящего в задание предыстории движения каждой частицы тела $
R (г (91, q2, q%)\ т) ¦ у '
Тензор напряжений Т (г (q1, q2, q3)\ t) представляется функционалом над
предысторией (2), функцией материальных координат q1, q2, <73 данной
частицы сЛ и, возможно, явно входящего времени t
<S
Т (R (г; t)) = сГ (R (г (ql, q\ q*); т); q\ q\ q=>; t) *
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed