Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
понент тензора напряжений через функции напряжений.
Выражение плоского тензора Т с равной нулю дивергенцией и не зависящего
от координаты х3 может быть задано в виде
T = maRp=Inkisl3U(q\q3) (а, |3 = 1, 2). (6)
В формуле (II 1.6.26) теперь
V2Q = i3i3V2t/, V.Q = R".|^-i3 = 0, /х( Q)== ?/
и поэтому
Т = Ink Q - Ink i3i3U - - i3i3V2t/ + EV2?/ - VVT/.
Пришли к известному представлению тензора напряжений через функцию
напряжений Эри (Airy)
Т - E2V2H - VVU ¦= R"RaV2f/ - R"RpVaVpf/. (7)
В частности, в декартовых координатах
/и - 0 d4J__ /22 _а _ д2Е /12 -т - д*и /8)
1 х~ дх°-2 ' и дх1* ' 1 2 dxigxt ¦
5]
О ПОЛЯРНЫХ СРЕДАХ
71
Представления компонент тензора напряжений, выражающихся через остающиеся
компоненты тензора функций напряжений Q11, Q22, Q12, Q23, Q31, приводятся
к виду
т d'2Ql1 п2 - (,q\
- ~dx3* ' _ дх3" ' " ',rl ,гЪ'2 г1у3 '
/23 d2QU I d2Q12 I u / "Ч- иЧ- ] /1Q4
Зх2ах3 ^ dxldx:i r avi I 3v2 avi / > vlu/
si_ d2Q22 . 52q12
д ( ' dQ22 6Q31 dQ12
дх\ , дх1 1 дх2 дх3
! 3 ! 5Q31 dQ23 \
1 дх1 \ бх2 Эх1 ) '
д I ( dQ2i 6Q31 \
дх2 1 V дх1 дх2 ] '
О12
t
,33 a2Qu a2Q22 0 a2Q12 f11)
" ax22 + ax12 axi ax2 •
He зависящие от x3 компоненты тензора напряжений t'n, t2'3 представимы
через функцию напряжений Прандтля Ф (х1, х2) в задаче о кручении стержня
,, а /а<э23 dQ-^\ дФ /23^ а /а<зз1 а<эаз \ аФ
ах2 V ах1 дх2 )- дх* ' ах1 v ах2 ах1 j~~ ах1 •
(12)
В задаче Сен-Венана имеет значение случай линейно зависящих от х3
компонент Q11, Q12, Q22. Тогда
/"^-0, /12----=0, /22^0 и выражению тензора напряжений придается вид Т -
i3'T + ti3 + i3i3 (Vg/j (Q)-yo-V0-Q).
Здесь вектор т определяется формулой
t = ^r(V. (Q) + V0.Q)-i3xV0O, причем V0 - набла-оператор по двум
переменным х1, х2,
Q = ijijQ11 + i2i2Q22 + (U2 + i.ij Q12.
§ 5. О полярных средах
Предполагалось, что действие окружающих рассматриваемый объем V тел
описывается заданием внешних массовых к и поверхностных f сил. В более
общих построениях допускаются также распределения внешних массовых ja и
поверхностных v моментов (пар). Описывая в этих условиях взаимодействия
между мысленно определенными частями среды, приходится принять
предположение, что распределение по ориентированной площадке N dO'
воздействий частиц в объеме У2 на прилегающие частицы в V% статически
эквивалентны не только силе tNd0'
72
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
(главному вектору), но и моменту тмсЮ' относительно некоторого центра на
dO'. Оправдание для казалось бы парадоксального представления, что
моменту приписывается тот же порядок малости dO', что и силе, можно
почерпнуть в самом понятии "малости" в модели сплошной среды.
Сам по себе "бесконечно малый объем" представляется сложным собранием
весьма большого числа элементарных частиц, а - передаваемые через
площадку усилия надо трактовать как некоторый интегральный эффект их
воздействий.
Ограничиваемся рассмотрением равновесия (уравнениями статики).
Для описания напряженного состояния вводится не только тензор напряжений
Т, но и тензор моментов напряжений М. Подобно (2.8) он определяется
соотношением
N-M = mN, (1)
подтверждаемым, как и (2.8), рассмотрением равновесия моментов (пар),
распределенных по граням элементарного тетраэдра.
Остается неизменным первое условие (3.2), выражающее теперь требование
обращения в нуль главного вектора сил, действующих на произвольно
выделяемый объем среды, а также следствие из него - уравнение статики в
объеме. Второе условие (3.2) надо существенно дополнить, представив его в
виде
(Rxpk+ pn)dV + И (RxtN + mN)^0 = 0. (2)
уХ ох
После замен в поверхностном интеграле tN и ihn по (3.1) и (1) и
преобразования его в объемный интеграл теперь получим
555[Rx(pk + V-T)-2c.) + V.M-f pju]rfl/ = 0. (3)
\/Х
Уравнения статики в объеме для сил и моментов приводятся к виду
V-T + pk = 0, V-M + pjr = 2w, (4)
причем по (1.14.17)
fi>=ie..T=I^*RiXRft.
Материалы, в поведении которых проявляются действия моментов напряжений,
называются полярными. Их теория, разработанная в начале века братьями
Коссера (Е. et F. Cosserat, 1909), продолжена в последние десятилетия в
большом числе публикаций по "моментным теориям сплошной среды". Здесь им
не уделено места. Во всем последующем тензор напряжений Коши симметричен.
§6]
ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ
73
Замечание 1. Уравнения (4) можно получить вариационным путем, если в
выражение потенциальной энергии упругой среды включить вторые градиенты
места (Тупин, 1964); это несовместимо с принимаемым далее ограничением,
что упругая среда принадлежит к классу "простых материалов" (гл. 3, § 1).
Доказано также (Гертин, 1965), что теория "непростых материалов второго
порядка" требует во избежание противоречий с принципами термодинамики
учета моментных напряжений.
2. В мультиполярной теории сплошной среды (материалы порядка выше
второго) для описания взаимодействий частиц среды через ориентированную
площадку приходится вводить моменты выше первого порядка.
§ 6. Другие определения тензоров напряжений
