Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
изолирующих интегралов.
Эти интегралы должны быть в инволюции, т. е. их скобки Пуассона друг с
другом должны обращаться в нуль: [а,-, а/J = 0. Это гарантирует, что
переменные а, образуют полный набор новых импульсов. Любая полная система
N функций от а, например переменные действия Ji, также определяет набор
изолирующих интегралов, скобки Пуассона которых автоматически обращаются
в нуль (подробности см. в работе [430], § 147).
* 1.3а. Одна степень свободы
Согласно соотношению (1.2.21), для системы с одной степенью свободы и
независящим от времени гамильтонианом Н величина
Н(р, q)-E (1.3.1)
является интегралом движения. Поэтому все такие системы
интегрируемы. При этом импульс р зависит только от
координаты q
(но не от времени). Разрешив (1.3.1), получим
p = p{q, Е). (1.3.2)
С В отечественной литературе используется также не совсем удачный термин
- однозначный (конечнозначный) интеграл. Заметим, что понятия изолирующий
и глобальный характеризуют, вообще говоря, разные свойства интеграла
движения, поскольку "изоляция" может быть и локальной как, например, в
теории КАМ (см. п. 3.2а ниже). Исключение с помощью каждого интеграла
одной степени свободы, т. е. двух динамических переменных, возможно
только при условии обсуждаемой ниже инволюции, или коммутирования,
интегралов, что означает совместимость соответствующих им циклических
координат. В противном случае интеграл позволяет исключить лишь одну
динамическую переменную (см., например, [337], п. 14).- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
39
Зависимость переменных р и q от времени можно определить из второго
уравнения Гамильтона (1.2.66), которое дает
dt =---------- , (1.3.3)
dHidp v
или, после интегрирования,
t==\ltnr- (1-3'4)
J дН/др
<7п
Так как дН/др зависит только от переменных р и q, которые связаны
соотношением (1.3.2), то интегрирование уравнений движения сводится к
квадратуре. Однако интеграл можно найти, вообще говоря, только численно.
Модель маятника. Проиллюстрируем описанную выше процедуру на простом
примере маятника. Подобный гамильтониан возникает по существу во всех
задачах с нелинейными резонансами, и эта модель лежит в основе нашего
подхода к нелинейной динамике, рассматриваемой в последующих главах.
Уравнения движения маятника имеют вид
р=-fs incp, tp = Gp, (1.3.5)
где F = mg'/г; G = 1/(т/г2); mg - сила тяжести, действующая на массу m; h
- длина маятника. Угол отклонения от вертикали <р и момент импульса р,
сопряженный ф, удовлетворяют уравнениям Гамильтона. Гамильтониан есть
сумма кинетической энергии
Gp2 и потенциальной энергии U = - F cos <р:
FI = -~~Gp2- Fcosy-E. (1.3.6)
Соотношение (1.3.4) сводит задачу к квадратуре и позволяет выразить
решение через эллиптические интегралы. Однако многое можно узнать и прямо
из анализа соотношения (1.3.6) при различных значениях энергии Е, как это
показано на рис. 1.4. Значение гамильтониана Е соответствует полной
энергии системы. Если Е больше максимального значения потенциальной
энергии F, то импульс р всегда отличен от нуля. Это приводит к
неограниченному изменению ф, т. е. к вращению. При этом для р>0 движение
происходит слева направо с энергией Еи. Для E<gF движение ограничено
(внутри потенциальной ямы) и соответствует колебаниям маятника. Если же Е
= F = Es, то движение происходит по сепаратрисе, а период колебаний
становится бесконечным. Движение имеет две особые точки при р = 0: одна
находится в начале координат при ф = 0 и является устойчивой, или
эллиптической, осо-
40
Глава 1
бой точкой, другая (в месте соединения двух ветвей сепаратрисы при ф = ±
я) является неустойчивой, или гиперболической, особой точкой. Фазовая
траектория вблизи эллиптической точки все время остается в ее
окрестности, тогда как траектория вблизи гиперболической точки удаляется
от нее.
Рис. 1.4. Динамика маятника. а - график потенциальной энергии; б -
азовые траектории.
^Из (1.3.4) следует, что в общем случае период колебаний зависит от
энергии осциллятора. Подставляя значение Н из (1.3.6) в (1.3.4), для
периода колебаний получаем соотношение
d4> (1.3.7)
Т
(2 G)1
(Е + F cos ф)
Общий обзор и основные представления
41
которое можно выразить через эллиптические интегралы. В частности, из
(1.3.5) видно, что на сепаратрисе как возвращающая сила, так и скорость
обращаются в нуль при ф = л, и поэтому период Т становится бесконечным.
Чтобы записать гамильтониан маятника в переменных действие- угол (У, 0),
вычислим действие аналогично (1.2.63). В результате получим
где Фмакс = я/2 для вращения (?>?) и cos фмакс = - Я/С для колебаний (?-
<?). Новый гамильтониан получается путем подстановки Я = ? в (1.3.8) и
обращения функции / (Я). Выражения
(1.3.8) и (1.3.9) приводятся к эллиптическим интегралам и их можно
представить в виде [383, 344]:
теграл первого рода. Величина х характеризует относительную энергию
маятника, так что на сепаратрисе х = 1; для колебаний х<1, а для вращения
х>-1.
