Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых.
Отметим, что рассматриваемая поверхность сечения (plt qj как раз и
является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой
системы, э последовательные пересечения получаются друг из друга путем
канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона.
Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения
сохраняется. Это важное свойство можно получить и непосредственно
следующим образом. Запишем общие дифференциальные соотношения
где X и р можно рассматривать как начальные координату и импульс на
поверхности сечения. Выразив частные производные через производящую
функцию F2 (X, р) и разрешив (1.2.47) относительно dp и dq, получим
где введены обозначения dFJdX = Fx и т. д. Детерминант коэффициентов
(1.2.48), эквивалентный якобиану преобразования от переменных (Я, р) к
(q, р), равен единице, что и доказывает сохранение площади при
преобразовании *). Это свойство двумерной поверхности сечения в
четырехмерном фазовом пространстве в дальнейшем
I (Ръ Рг, Д. Яг) = const
(1.2.45)
из (1.2.44) и (1.2.45) следует
Pi= Pi (Д> Яг)-
(1.2.46)
dX = dq -4- dp,
dq ' Эр
(1.2.47)
(1.2.48)
В общем случае исходные переменные p,q не являются каноническими на
поверхности сечения и сохраняется некоторая их функция Л (р, q) -
"наведенная" мера.
34
Глава I
будет играть важную роль как при численном поиске интегралов движения (§
1.4), так и при выяснении устойчивости линеаризованного движения вблизи
периодического решения (§ 3.3).
Метод сечения Пуанкаре можно обобщить и на системы с числом степеней
свободы N'>2. Для независящего от времени гамильтониана системы с N
степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом
пространстве равна 2N-1 [рис. 1.3, в (/) 1. Исключим, как и раньше, одну
из переменных, например ры, и рассмотрим последовательные пересечения
траектории с (2N-2)-мерной поверхностью qN = const с координатами ри . .
. , /?д-_х, qlt . . . , qN.^ [рис. 1.3,6 (2)]. При этом поверхность
сечения по-прежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с
сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов
движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность
которой меньше 2N-2. В противном случае они будут заполнять некоторый
(2N-2)-мерный объем.
Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти
независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат
проекции поверхности сечения на плоскости (pi, q{), как показано на рис.
1.3, в (3). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными
(pt, qt) площадь сохраняется в каждой плоскости (/?;, qi). При этом для
каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции
лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей (рс, ?/;). Однако в
общем случае при N'>2 даже для регулярной траектории пересечения,
спроектированные на произвольную плоскость (/?,-, qt), не лежат на
кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от
выбора переменных (/?,-, qt). В рассматриваемом случае пересечения лежат
фактически на (N-1)-мерной поверхности, проекция которой на любую из
плоскостей (pi, qt) занимает область конечной площади. Примеры
многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно - в гл. 6.
* 1.2в. Переменные действие - угол
Для системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от
времени, всегда существует интеграл движения. В многомерном случае, если
переменные в уравнении Гамильтона-Якоби полностью разделяются, можно
найти N интегралов движения, которые "развязывают" все N степеней
свободы. Обозначим производящую функцию F2 через 5 и примем, что в случае
полного разделения переменных решение имеет вид
S -SSf(<7i, "1 • • • "лг). (1.2.49)
i
где аг - новые импульсы, связанные с N интегралами движения.
Общий обзор и основные представления
35
Если, кроме того, гамильтониан можно записать в виде суммы Д
то из-за независимости переменных qi уравнение Гамильтона- Якоби (1.2.15)
распадается на N уравнений
Нс(^~, qt)=a. (1.2.50)
V dqi /
Решив их, найдем зависимость S; от qi. Новые импульсы а?
оказываются при этом постоянными разделения для уравнения Гамиль-
тона-Якоби и удовлетворяют соотношению
21 а { = Н0. (1.2.51)
i
Связь между старыми и новыми каноническими переменными дается
соотношением (1.2.13). Новый гамильтониан Я зависит
только от импульсов а,-, и уравнения Гамильтона решаются три-
виально.
Выбор постоянных а; в качестве новых импульсов является произвольным.
Вместо этого можно выбрать любые N величин Ji, являющихся независимыми
функциями ад
Ji = Jt(a). (1.2.52)
Если эти N уравнений обратить,
cti - ai(J), (1.2.53)
и подставить в (1.2.49), то получим производящую функцию для
преобразования к новым импульсам Уд
S(q, У) = S (q, а (У)) (1.2.54)
и новый гамильтониан
Я(У) = 2>ДУ). (1.2.55)
i
Решение уравнений Гамильтона и в этом случае тривиально.
