Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
где
C'=o-Lde - 1 (Б.11)
2
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
503
как в (7.3.106) при В- 1 и
а = е + - d2 2
(Б.12)
как в (7.3.17) при 5 = 1. Изменяя масштабы
х' = аДх, у' = аеАу,
(Б.13) (Б. 14)
(Б.15)
т. е. уравнение того же вида, что и (Б.6а) с новым коэффициентом С'.
Аналогичный результат нетрудно получить и при ренормализации (Б.66). Из
(Б. 14) второй параметр подобия
что близко к численному результату |3 ^ 16,36.
Описанные закономерности были в основном подтверждены численным
моделированием многих двумерных канонических отображений. В
соответствующих переменных все эти отображения вблизи точки накопления
выглядят одинаково (см. работу [167]).
В принципе методы ренормализации можно использовать для анализа и других
свойств отображений. В п. 4.3а, следуя Лихтен-бергу [267 ], мы обсуждали
идею такой ренормализации для определения величины возмущения, при
которой структура резонансов становится подобной во всех порядках. Это
было сделано для приближенного определения границы глобальной
стохастичности. С той же целью в § 4.5, следуя Эсканде и Довейлу [117],
был описан более сложный метод ренормализации. В настоящее время теория
ренормализации широко используется при изучении как гамильтоновых, так и
диссипативных систем (см., например, работы
R = ae - e2-j ed2 " 16,91
2
(Б. 16)
[119, 167, 369, 446]).
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Ниже приведены только обозначения, употребляемые на протяжении всей
книги. Скалярные величины печатаются светлым курсивом, векторы -
полужирным курсивом, а матрицы и тензоры - прямым жирным шрифтом
(рубленым).
А - векторный потенциал А - матрица линейного преобразования s4-m -
интеграл Мельникова-Арнольда В - магнитное поле с - скорость света D -
коэффициент диффузии Е - энергия
& - полный эллиптический интеграл второго рода F - производящая функция
9~ - эллиптический интеграл первого рода G - коэффициент нелинейности h -
КС-энтропия h - постоянная Планка Я - гамильтониан Я0 - невозмущенный
гамильтониан I - единичная матрица /, J - переменные действия f - функция
Бесселя первого рода k - волновой вектор К - параметр стохастичности
Ж - полный эллиптический интеграл первого рода L - лагранжиан L -
оператор Ли т, п - целочисленные векторы
М - матрица Якоби Ж - мера
N -- число степеней свободы
Л° - мощность шума р - импульс
Р - распределение вероятностей г - радиус-вектор t - время Т - период
Т - эволюционный оператор Ли и, v - скорость U, V - потенциальная энергия
w - производящая функция Ли W - вероятность перехода х, у, z - координаты
X - матрица собственных векторов а - число вращения е - параметр
возмущения
Список основных
0 - вектор угловых переменных, канонически сопряженных переменным
действия х - аргумент эллиптических функций h - собственное значение ). -
матрица собственных значений р - магнитный момент v - частота
столкновений р - ларморовский радиус а - показатель Ляпунова т - время
обозначений
505
Ф, ф - угловые переменные Ф - электрический потенциал
со - частота колебаний Q - ларморовская частота I , ] - скобки Пуассона
знак порядка
сх - знак пропорциональности х, е - орты Т, L - операторы det М -
детерминант матрицы Sp М - след матрицы
ЛИТЕРАТУРА
1. Aamodt R. E., Byers J. A.- Phys. Rev. Letters, 1972, v. 29, p. 1305.
2. Abarbanel H. D. I.- Physica, 1981, v. 4D, p. 89.
3. Abarbanel H. D. /., Crawford J. D.- Phys. Letters, 1981, v. 82A, p.
378; Physica, 1982, v. 5D, p. 307.
4. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H.-J. Math. Phys., 1980, v. 21, p.
715,
5. Ahlers G., Behringer R. P.- Phys. Rev. Letters, 1978, v. 40, p. 712.
6. Алексеев В. М.-УМН, 1981, т. 36, № 4, с. 161.
7. Alfven Н. Cosmical Electrodynamics.- Oxford: Oxford University Press,
1950. [Имеется перевод: Альфвен X. Космическая электродинамика.- М.: ИЛ,
1952.]
8. Аносов Д. В.- ДАН СССР, 1962, т. 145, с. 707.
9. Аносов Д. В,- ДАН СССР, 1963, т. 151, с. 1250.
10. Арнольд В. И.- УМН, 1963, т. 18, № 5, с. 13.
11. Арнольд В. И,- УМН, 1963, т. 18, № 6, с. 91.
12. Арнольд В. И,- ДАН СССР, 1964, т. 156, с. 9.
13. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.:
Наука, 1979.
14. Arnold V. /., Avez A. Ergodic Problems of Classical Mechanics.- N.
Y.: Benjamin, 1968.
15. Bardet R., Briand P., Dupas L. et al.- Nucl. Fusion, 1975, v. 15, p.
865.
16. Bellman R. Perturbation Techniques in Mathematics, Physics, and
Engineering.- N. Y.: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.
17. Benettin G., Casartelli М., Galgani L., et al.- Nuovo Cimento, 1978,
v. 44B, p. 183; 1979, v. 50B, p. 211.
18. Benettin G., Galgani L.- in: Intrinsic Stochasticity in Plasmas/Eds.
Laval, Gressillon.- Orsay: Les Editions de Physique, Courtaboeuf, 1979,
p. 93.
19. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M.- Phys. Rev., 1976, v.
A14, p. 2338.
20. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M.-
Meccanica, 1980,
March, p. 21.
21. Berman G. P., Zaslavskiy G. M.- Physica, 1979, v. 97A, p. 367.
22. Berman R. H. Transition to Stochastic Behavior in a
