Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
значения для диссипативных отображений Соо " - 0,78. Предполагая, что С*
сходится к С", по закону
С*-Соо^Лб-*,
и подставляя это в (7.3.106) при В = 1
х) См. также [488].- Прим. ред.
2) Точная теория ренормализации для двумерных гамильтоновых
отображений [113] дает значения параметров подобия, которые очень
хорошо
согласуются с численными результатами.
498
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
' 'С =-1,26 '¦
Рис. Б.1. Бифуркации удвоения периода (Т = 2k, k = 0, 1, 2, 3, 4) для
гамиль Величина А указывает линейное увеличение масштаба. Буквы а, б н в
я стрелки показывают
Ck= -2Ck-yi -f- 4С*+1 -j-7,
находим
б = 4С00 + 4 = 1 + V65~~9,06. (Б.З)
Численное значение б ^ 8,72 для гамильтоновых отображений отличается от
параметра диссипативных отображений б " 4,66.
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
499
А = 100 С= -1,2632
А = 200 С = -1,2636
•V в. :
'Й
%
\§;
¦/$
I
Л = 100 С = -1,2634
-.0' - J ч
!rj.:
•&5' 1
"V ¦
23
А = 200 С = -1,264
А = 200 С = -1,265
24
А = 200 С = -1,266
Л = 800 С = -1,266
тонова отображения (Б. 1) на плоскости {хп+ъ хп) (по данным работы[417]).
последовательность бифуркаций при уменьшении параметра С.
Наконец, параметр .^подобия а в (7.3.15) определяется выражением (7.3.17)
при В = 1
а = е + - d2.
2
Используя е и d из (7.3.8), а^также а и b из (7.3.6), находим
4,096, (Б.4)
500
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
тогда как численный результат аж - 4,018. Это значение а также заметно
отличается от величины аж - 2,5 для диссипативных систем.
На рис. Б.1 представлена последовательность бифуркаций отображения (Б.1)
на плоскости (хп+1, хп) вблизи неподвижной точки (0, 0) при изменении
параметра С. Величина А показывает увеличение масштаба соответствующей
картинки. Ясно видны бифуркации с k = 1, 2, 3, 4.
Более подробное исследование двумерных гамильтоновых отображений
обнаруживает дополнительный параметр подобия |3 [84, 167]. Следуя Грину и
др. [167], мы покажем это, представив (Б.1) в форме квадратичного
отображения Вогелара
где1) g = Сх -Г х2. Такое представление отображения позволяет выявить
симметрию в бифуркациях. Неподвижная точка (0, 0) в (Б.5) становится
неустойчивой при С = - 1, приводя к образованию показанного на рис. Б.2
бифуркационного дерева. Численно последовательные бифуркации сходятся по
закону геометрической прогрессии с показателем 6 ж 8,72, что приближенно
согласуется с (Б.З); точка накопления С*, = - 1,2663 хорошо согласуется
Дополнительное измерение (по у) также должно иметь параметр подобия. Это
видно, например, из рис. Б.З. Здесь кружки представляют траекторию
периода 2, возникающую при потере устойчивости неподвижной точки
(квадрат); треугольники - траекторию периода 4 и точки - траекторию
периода 8. Нетрудно заметить подобие в расположении периодических точек:
картина вокруг квадрата повторяется в уменьшенном масштабе вокруг левого
кружка (с отражением). Обе картины можно совместить, увеличив масштаб по
оси х в а ж - 4,018 раза [что хорошо согласуется с (Б.4) ], а по оси у в
Р ж 16,36 раза. Фактически эти параметры принимают точные значения лишь в
ренормализационном пределе. Оказывается, что при С = Сх подобие
распространяется не только на периодические точки, но и на все
отображение Too, если применить его дважды и изменить масштабы [167]:
Хп+1= -Уп + g(Xn), Уп+1 - хп g {Xnj-xj,
(Б.5)
с (Б.2).
где
Я В работе [167] исследовалось несколько иное отображение с функцией g =
Сх - (1-С) х2, которое приводится к (Б.1) заменой - (1-С) х -* х. - Прим.
ред.
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
501
Мы уже нашли выражения для Сх, б и а с помощью приближенной квадратичной
ренормализации. Аналогичным образом можно вычислить и второй коэффициент
подобия |3. Это было сделано Мак-Кайем (см. работу [182 ], приложение С),
и мы используем здесь его метод. Представленное в форме Вогелара
отображение (Б.1)
%п-\-1 Уп (-*Хп ~т~ Хп, (Б.6а)
Уп-\-1~^п СХп^х Хпц-[ (Б.66)
Рис. Б.2. Сечение бифуркационного дерева (в плоскости у - 0) для
квадратичного отображения Вогелара (по данным работы [167]).
Сплошные линии - устойчивые неподвижные точки; пунктирные линии -
неустойчивые.
имеет неподвижную точку х10 = у10 = 0. Возникающие из нее точки периода 2
с координатами г/а± = 0 и х3± определяются, как и прежде, из (7.3.6).
Подставляя
Х = Х2±+ Ах,
У = У2± + &У в выражение (Б.6), находим
Дх"+1 =-Ауп -j- - Ах" + (Ах")2, (Б.7а)
502
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
Д^Лг+i- Axt1 ^ Ахп^ (Axn^_j)2, (Б.76)
где due по-прежнему определяются согласно (7.3.8). После однократной
итерации (Б.7а) находим
Ахп+%= Ауп^_1Н-~ Axn+i -f- (Axn+1)2. (Б. 8)
Рис. Б.З. Расположение (неустойчивых) неподвижных точек при С = Соо (по
данным работы [167]).
Вычитая (Б.8) из (Б.76), получаем
A-X/x-fj= Ахп -j- eAxn^_i -)- 2 (Axn+i)2" (^*(r))
Исключая Дхп+1 в (Б.9) с помощью (Б.7а) и удерживая линейные
члены Дхп, Ауп и квадратичный член (Ахп)2, имеем
Ахп+г = - еАуп + С'Ахп + а (Дх")% (Б. 10)
