Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
исследованными в связи с попытками объяснить уменьшение времени жизни
пучка, являются модуляционная диффузия [404] и резонансное каналирование
[405]. Проблема эффектов встречи стимулировала численные исследования
диффузии Арнольда (см., например, [190]). Сокращение времени жизни пучка
действительно наблюдалось на электрон-позитронном накопителе, но
детального сравнения экспериментальных данных с теорией пока не
проведено. Поскольку число оборотов частиц в накопителях превышает, как
правило, 108, то обычное численное моделирование даже с использованием
отображений оказывается практически неосуществимым. Обзор современного
состояния проблемы эффектов встречи и ряд других интересных результатов
содержатся в трудах конференции [304].
А.З. Магнитные ловушки
Мы уже обсуждали значение задачи об удержании заряженной частицы в
магнитной ловушке для развития теории адиабатических инвариантов
нелинейных систем (§ 2.3). После пионерских работ Альфвена [7 ] и
Нортропа и Теллера [320], которые получили приближенное решение для
движения частицы в магнитном поле Земли, был разработан ряд других
методов асимптотического разложения, которые более точно учитывают
геометрию реального магнитного поля. Отметим здесь работы Лакины [247,
248] и Кри-лина [236, 237 ] по аксиально симметричным магнитным ловушкам,
а также работу Драгта [106] по аксиально симметричному диполю. Общие
методы получения решений в любом порядке по параметру разложения были
разработаны Боголюбовым и Митропольским [33] и Крускалом [238, 239].
Детальные вычисления во втором порядке выполнены Нортропом и др. [321 ].
Однако, как выяснилось, получающиеся при таких разложениях ряды
оказываются расходящимися, а магнитный момент частицы изменяется на
экспоненциально малую величину при каждом отражении от магнитной пробки.
Оценки такого изменения были сделаны Хертвеком и Шлютером [191] и
Чандрасекаром [53 ] х).
Ч См. также работу [244].- Прим. ред.
Некоторые приложения
491
Более подробные расчеты выполнены Хастье и др. [176] и Ховардом [201],
которые использовали контурное интегрирование и метод перевала 2).
Дальнейшее развитие этих методов, а также сравнение с результатами
численного моделирования можно найти в работе Коэна и др. [81 ].
В случае аксиально симметричной магнитной ловушки задача сводится к двум
степеням свободы и, несмотря на изменение магнитного момента, возможно
вечное удержание частицы 2). Это является следствием того, что
инвариантные кривые изолируют при малом возмущении стохастические слои
резонансов между лармо-ровским вращением и продольными колебаниями
частицы, которые рассматривались в работе [67 ]. Эти резонансы можно
описать с помощью отображения, как это было сделано Чириковым [68-70 ],
который исследовал условия адиабатичности движения. В некотором диапазоне
параметров магнитный момент испытывает колебания, значительно более
медленные, чем продольные колебания частицы. Это явление было названо
Розенблютом сверхадиабатич-ностью. Потеря сверхадиабатичности, что с
физической точки зрения связано с исчезновением фазовых корреляций при
последовательных прохождениях средней плоскости ловушки, эквивалентна
разрушению инвариантных кривых отображения.
Переход к глобальной стохастичности, когда частицы вылетают из ловушки,
можно грубо определить с помощью численного моделирования. Это было
сделано Гарреном и др. [149] для аксиально симметричной прямой ловушки,
Драгтом [106] для аксиально симметричного диполя и Сиамбисом [372 ] для
несимметричной ловушки. Однако численное моделирование не может решить
вопрос о длительном удержании частиц в ловушке. Поэтому были поставлены
специальные эксперименты в аксиально симметричных ловушках при низкой
плотности частиц, когда их взаимодействие пренебрежимо мало (см.,
например, [154, 338]). Эти эксперименты показали, что в достаточно
сильном магнитном поле время жизни частиц определяется классическим
рассеянием на остаточном газе 3). Однако при умеренных полях имеется
переходная область, где время удержания частицы все еще большое, но
зависит от поля. В последнем случае механизм потерь частиц оставался
необъясненным. Наконец, при слабых полях сверхадиабатич-ность нарушается
и частицы быстро покидают ловушку. Обсуждая
Ч Первые аккуратные вычисления экспоненциально малого изменения
магнитного момента частицы в ловушке были проведены в работе [550].-
Прим. ред.
2) Этот важный и строгий результат получен Арнольдом [11].- Прим.
ред.
3) Возможность длительного удержания частицы как в аксиально
симметричной, так и в слабо асимметричной ловушке с достаточно сильным
полем была установлена в опытах Родионова [551 ] (см. также работу
[552]).- Прим. ред.
492
Некоторые приложения
результаты этих экспериментов, Чириков [68-70 ] предложил два возможных
объяснения: 1) существование слабой остаточной стохастичности при
возмущении, большем некоторой строгой границы теории КАМ, но значительно
