Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.2.39)
30
Глава 1
пенями свободы динамически эквивалентен гамильтониану с одной степенью
свободы, зависящему от времени.
Интеграл действия. Рассмотрим связь между относительным интегральным
инвариантом (1.2.33), для которого интегрирование проводится в некоторый
определенный момент времени t, и интегралом действия для одномерной
колебательной системы с независящим от времени гамильтонианом. Интеграл
действия определяется как
J = "ьГ $ Р dq' (1.2.40)
Рис. 1.2. Контур интегрирования для вычисления переменной действия.
где интегрирование производится по одному периоду колебаний.
В терминах расширенного фазового пространства выражение
(1.2.33) для одномерного осциллятора можно переписать в виде
(j) (р dq- Я dt) = const,
причем интегрирование производится при ? = const. Поскольку выбор ?
произволен, то новый путь интегрирования, который включает и изменение
времени, может быть выбран так, что часть его будет проходить вдоль
действительной траектории системы в фазовом пространстве. Для
специального случая Я = const второе слагаемое обращается в нуль при
интегрировании по любому замкнутому контуру, и мы получаем
<§>pdq = const. (1.2.41)
Если теперь выбрать пучок траекторий, вокруг которого производится
интегрирование, как это показано на рис. 1.2, то полный путь
интегрирования будет состоять из двух частей
?pdq= [pdq+ jpdq, (1.2.42)
•r q cs
где путь Cj охватывает один период колебаний. При этом конечные
Общий обзор и основные представления
31
точки кривой Сг имеют одинаковые значения q, и поэтому путь С.: можно
выбрать так, что q = const. Вследствие этого из (1.2.40) и (1.2.42)
получаем
Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного
интегрального инварианта в рассматриваемом случае1). Значение интеграла
действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим
импульсом в переменных действие - угол (см. § 1.2в). Помимо этого, он
оказывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается
приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом
колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое
постоянство действия подробно рассматривается в § 2.3 и имеет
фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с
гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколькими
степенями свободы.
Сечение Пуанкаре. Метод сечения Пуанкаре является одним из основных
методов анализа гамильтоновой динамики. Для автономных систем с двумя
степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Выберем в фазовом
пространстве некоторую двумерную поверхность j^R (см. рис. 1.3, а) и
рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение
происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в
некотором определенном направлении (например, слева направо).
В частности, удобно выбрать поверхность сечения J^R следующим образом.
Заметим прежде всего, что траектория лежит на трехмерной энергетической
поверхности Н (ръ р2, qu q2) = Н0 в четырехмерном фазовом пространстве
[см. рис. 1.3, б (/)]. Это уравнение определяет любую из четырех
переменных, скажем р2, как функцию трех остальных
Рассмотрим проекцию траектории на трехмерный объем (ръ qlt q.2) на рис.
1.3, б (2). Если движение ограничено, то траектория будет все время
пересекать определенную плоскость q2 = const внутри этого объема. Эту
плоскость, заданную координатой qx и сопряженным импульсом ръ удобно
выбрать в качестве поверхности сечения В общем случае последовательные
пересечения траектории с поверхностью J^R будут произвольно распределены
в не-
Э Этот результат можно получить и проще, заметив, что при Н = const
смещение вдоль фазовой траектории эквивалентно изменению начальных
условий.- Прим. ред.
[ pdq = const = 2л/.
(1.2.43)
Ръ~Ръ(Ръ Ръ Ръ)-
(1.2.44)
32
Глава }
/
*"¦1
Р1
Рис. 1.3. Сечение Пуанкаре в фазовом пространстве.
а - пересечения траектории с поверхностью 2^; б - две степени свободы:
1 - тра-
ектория в четырехмерном фазовом пространстве, лежащая на трехмерной
энергетической поверхности; 2 - ее проекция на поверхность (рь qlt q2)\ 3
- последовательные пересечения траектории с двумерной поверхностью q2 =
const (крестики); в - три степени свободы; 1 - траектория в шестнмерном
фазовом пространстве, лежащая на пятимерной энергетической поверхности; 2
- три последовательных пересечения траектории с четырехмерной
поверхностью <?3 - const; 3 - проекция этих пересечений на плоскости (рj,
<?:) н (р2, Я*)-
Общий обзор и основные представления
33
которой ограниченной области В случае существования дополнительного
(помимо Я0) интеграла движения
Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой
инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с <72 - const.
Таким образом, существование интегралов движения можно определить из
анализа пересечений траекторий с поверхностью После того как
существование интеграла установлено, можно исследовать локальную
