Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
с. 440).- Прим. ред.
484
Глава 7
Однако, как мы видели, другие эксперименты не подтверждают эти свойства
х). Можно предположить, что причиной этого является Внешний шум, который
нарушает тонкую структуру спектра, и в зависимости от условий
эксперимента субгармоники то появляются, то пропадают. Такое поведение
действительно наблюдалось в численном моделировании Кратчфилдом и
Хьюберманом [96].
Рассмотрим, наконец, четвертый механизм возникновения турбулентности,
лежащий в основе модели Помо и Манневиля [293 ] и связанный с переходом к
хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении
некоторого параметра периодическая траектория непосредственно
превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной
тангенциальной бифуркации.
Следуя Экману [112], покажем, каким образом это происходит на примере
потери устойчивости предельного цикла периода 3 для одномерного
квадратичного отображения (7.2.4). В п. 7.26 (см. рис. 7.15 и пояснения к
нему) было показано, что при С = Сд3) = -= (1-V 8)/2 в результате
тангенциальной бифуркации рождаются устойчивая и неустойчивая траектории
периода 3. Они сохраняются в небольшом интервале значений С<Со3). При С =
Со3) они сливаются и исчезают, рождая так называемое хаотическое движение
с перемежаемостью. Под этим понимается следующее: можно показать, что
хотя движение является хаотическим, однако при малой разности С-Со3) - е
типичная траектория будет находиться в окрестности периодической
траектории в течение ~ е~1/2 итераций. При этом периодическая траектория
x3i=f(f(f(x3i))), i = 1, 2, 3,
соответствует бифуркационному значению С - Со3). В течение этого времени
траектория выглядит как периодическая, а затем, после выхода из этой
области,- как хаотическая. Поэтому в модели Помо и Манневиля нерегулярное
движение продолжается
в течение некоторого случайного промежутка времени, сменяясь
1 1-1/2
периодическим со средней длительностью | р-рс | , где рс -
бифуркационное значение некоторого параметра р.
Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое
поведение [112]. Оно существует и для модели Лоренца в некотором
интервале параметров [293 ]. Подобный переход к турбулентности наблюдался
во многих экспериментах, включая конвекцию Рэлея-Бенара [273 ] и так
называемую химическую турбулентность [352] (см. также дополнение А).
Однако в этих случаях перемежаемость связана с переходом между
1) Речь идет, по-видимому, о данных на рис. 7.32. - Прим. ред.
Диссипативные системы
485
двумя квазиустойчивыми состояниями системы и остается неясным,
описывается ли такое поведение моделью Помо - Манневиля х).
Следует подчеркнуть, что единого механизма перехода к турбулентности не
существует 2). Если, например, система обнаруживает бифуркации удвоения
периода, то можно предсказать зависимость этих бифуркаций от параметра.
Однако пока неизвестно, каким образом можно узнать заранее, в какой
системе это будет происходить. Отметим также, что все эти модели
описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о
свойствах развитой турбулентности (см., например, 1295]).
J) Хотя термин "перемежаемость" появился недавно, подобные процессы
рассматривались уже довольно давно под более удачным, на наш взгляд,
названием - "структурная турбулентность" (см., например, работы [537,
538], где имеется подробная библиография). В частности, появление
структур в хаотическом режиме простой диссипативной модели описано в
работе [530]. Такие флуктуирующие структуры часто встречаются и в
гамильтоновых системах. Типичный пример -движение в узком стохастическом
слое сепаратрисы маятника (резонанса) (§ 3.5). Здесь имеются три
структуры (вращение в двух направлениях и колебания), между которыми
происходят случайные переходы.- Прим. ред.
2) См., например, работу [541].- Прим. ред.
Дополнение А НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Во введении мы уже упоминали о некоторых применениях обсуждаемых в
настоящей монографии методов. Поскольку наиболее знакомой для нас
областью является удержание и нагрев плазмы, то большинство примеров в
тексте относится именно к этому кругу вопросов. Имеется, однако, много
других областей, где рассматриваемая теория находит широкое применение:
движение планет, ускорение и накопление заряженных частиц, процессы в
твердых телах, молекулярная и химическая динамики, гидродинамика,
экология и т. д. Кроме того, близкие проблемы возникают при изучении
квантовых систем, которых мы не касались. Чтобы частично компенсировать
указанный пробел, ниже дается краткая справка о некоторых из
перечисленных применений теории. Поскольку круг обсуждаемых вопросов
необычайно широк, мы даже и не пытаемся описать его полностью.
Многочисленные обзорные статьи и труды конференций помогут читателю
ориентироваться в этой области. Некоторые применения теории в физике
твердого тела (здесь не обсуждаемые) можно найти, например, в трудах
конференции [58 I1), а теория диссипативных систем и ее приложения
