Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 165

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 742 >> Следующая

Y=- XZ + rX - Y, (7.4.126)
Z = XY - bZ, (7.4.12b)
где a = v/x - число Прандтля, г = RJRC - приведенное число Рэлея, b = 4
(I -г а2)-1, а точка означает производную по безразмерному времени т -
n2h~2 (1 -f a2) xt.
Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в § 1.5 и выше
в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос: в какой мере эта модель
представляет поведение жидкости в задаче Рэлея-Бенара? На первый взгляд
обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является
чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя модами для двух функций
состояния жидкости ф и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже
четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и
образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению
может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98
] (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное
моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает
отсутствие турбулентного движения *). В этом состоит существенное отличие
от трехмерной конвекции Рэлея-Бенара, в которой турбулентность
наблюдается экспериментально.
В работе [131 ] было показано, что двумерные решения уравнения Навье-
Стокса можно описать асимптотически (при t -*¦ оо) конечным числом мод
N2. Этот результат был обобщен на трехмерные решения, причем N3 сс м\
[132]. Поэтому при фиксированных параметрах системы и начальных условиях
конечномерные
]) Это замечание непонятно. По поводу особенностей двумерной
турбулентности см., например, работы [542, 543].- Прим. ред.
478
Глава 7
модели с некоторым минимальным значением N2 (или N3) представляют все
физически существенные свойства реального течения 1). Треве [412]
предложил численный метод проверки апостериори, было ли выбранное число
мод достаточным. Однако пока не существует никакого метода определения
необходимого числа мод априори до численного моделирования2).
7.46. Переход к турбулентности
Обсудим теперь различные гипотезы относительно механизма перехода от
регулярного течения к гидродинамической турбулентности. За исключением
самой ранней гипотезы Ландау [251 ], все предложенные механизмы связаны с
конечномерными моделями. Имеющиеся экспериментальные данные не позволяют
сделать определенного выбора между моделями, поскольку в опытах часто
присутствуют черты разных механизмов. Наше описание возникновения
турбулентности базируется на обзорах Хеллемана [180], Отта [324] и Экмана
[112].
Хотя явление турбулентности известно уже сотни лет, детальные измерения
характеристик потока вблизи перехода были выполнены только в последнее
десятилетие3). Возникновению турбулентного режима движения обычно
предшествует возбуждение
В Точнее конечное число мод движения полностью определяет и все остальные
моды (см. также работу [545]). Физически это связано с сильным затуханием
высоких мод, которые, таким образом, просто повторяют с уменьшенной
амплитудой колебания основных мод и имеют, в частности, тот же тип
спектра (дискретный или непрерывный). Иначе можно сказать, что движение
на аттракторе вообще имеет конечное число мод, однако эти моды не
совпадают с невозмущенными модами приближения Галёркина. Отсюда следует
также, что движение имеет только конечное число положительных показателей
Ляпунова. Отметим, что конечномерность аттрактора (гипотеза Хопфа [546])
доказана только для двумерного течения [131, 545], тогда как в трехмерном
случае это принимается в работе [132] в качестве гипотезы. - Прим. ред.
2) Грубые априорные оценки получены в упомянутой работе [132] и их можно
представить в виде N2 ~ Re3 ~ TV^'3, где Re - число Рейнольдса. Однако
эти оценки (как и критерий в работе [412]) являются лишь достаточными и,
вообще говоря, весьма неэффективными. Например, в случае однородной
турбулентности они существенно превосходят естественную оценку числа
степеней свободы по Ландау и Лифшицу [539]: A^2~Re3,/2~A^3'3. Это хорошо
согласуется также с полученной недавно строгой оценкой снизу
(необходимой): N2 - Re [560]. В любом случае такие оценки указывают на
существенный дефект используемых конечномерных моделей турбулентности,
число степеней свободы которых фиксировано, а параметры изменяются.-
Прим. ред.
3) Это краткое замечание представляет обширные многолетние исследования
турбулентности весьма однобоко (см., например, работы [535, 536]). В
последнее время, особенно после нашумевшей работы Рюэля и Тэкенса [355],
действительно были проведены некоторые специальные эксперименты, иногда,
кстати сказать, весьма поспешно (см. примечание редактора на с. 483), по
проверке ряда новых гипотез (см. ниже).- Прим. ред.
Диссипативные системы
479
колебаний одной или нескольких независимых частот и их гармоник, а иногда
и субгармоник. Основные эксперименты по детальному исследованию перехода
к турбулентности относятся к различным вариантам конвекции Рэлея -
Бенара, а также вихрей Тейлора, возникающих в слое жидкости между
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed