Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 163

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 742 >> Следующая

(и). Согласно численным данным, распределение Р (и) хорошо
аппроксимируется распределением Гаусса
Р (и) сс ехр (-а, и2),
где а зависит от б, но не от М. Вычисление Р (и) производится так же, как
и в п. 5.46. Будем исходить из усредненного по фазе уравнения ФПК
(5.4.5). Коэффициенты трения В и диффузии D равны, согласно (5.4.6) и
(5.4.7):
1 2Л
В- ( <7фДц, (7.3.57а)
2я 0-
1 2л
D = - | <7ф (Да)2, (7.3.576)
2Л g
-1) Образование хаотического аттрактора при достаточно сильной
диссипации, которое, по-видимому, наблюдалось также в работах [73, 74,
531 ], связано с тем, что диссипация разрушает устойчивые области. Однако
приведенное в тексте критическое значение б = 0,03 вызывает сомнения. Для
образования хаотического аттрактора требуется по крайней мере, чтобы все
неподвижные точки отображения (см. рис. 1.14) стали неустойчивыми. Можно
показать, что это происходит при условии: б > (2/я2Ж)^3 " 0,13 (М = 100),
что заметно превышает приведенное значение, и даже значение б = 0,1 в
численном моделировании (рис. 7.28). Для данных на рис. 7.29 это же
условие имеет вид М > 203 (б - 0,1). Причина, по которой захват
траектории в устойчивый фокус не наблюдается при численном моделировании,
состоит, по всей видимости, в том, что плотность равновесной функции
распределения (7.3.61) в области захвата (8,7 и 10 для данных на рис.
7.28) исчезающе мала и соответственно время существования переходного
хаоса огромно. В таком случае вполне можно говорить о квазистационарном
хаосе. Условие его существования в данной модели, как можно показать,
имеет вид: лМб > 1; оно выполняется с запасом для всех численных данных
на рис. 7.28 и 7.29.- Прим. ред.
1.I" ..........
.-Ч-А-Угу.
лЛ'у J"-- f - л • ••< **¦'> -4**. / г?.;.;---* :;.v
4,8-
4*.
-sj
О
Рис. 7.28. Фазовая плоскость для модели ускорения Ферми с диссипацией при
М = 100 и 6 - 0,1-
а .- одна траектория в интервале 4 < и <7; 4,5*10"' итераций; б - то же в
увеличенном масштабе по и; 3-I0*' итерации, 100у100 ячеек; цифры
пропорциональны логарифму числа попаданий в ячейку.
Глава 7
Диссипативные системы
471
где мы предположили равномерное распределение по фазе уже после одной
итерации. Из (7.3.55а) имеем
Дц(ф) =-6" -этф (7.3.58)
и
В=-6и, (7.3.59а)
D = ф- 62"2. (7.3.596)
В стационарном состоянии и в отсутствие потока частиц уравнение ФПК имеет
вид
__вр(0)^_ -1-- (DP(0)) = 0. (7.3.60)
2 du
Опуская второй член в (7.3.596) (см. ниже), получаем нормированное на
единицу решение
Р(0>) = 2ехр( -26и2). (7.3.61)
На рис. 7.29 это решение (сплошная прямая) сравнивается с численными
данными при 6 = 0,1 и различных М. При малых скоростях все численные
значения хорошо ложатся на теоретическую прямую и не зависят от М. Однако
при больших скоростях имеется систематическое отклонение. Очевидно, это
связано с нарушением условия (5.4.4) применимости уравнения ФПК, которое
в данном случае принимает вид
(-1" [ Ды | = 1,
V я<°> du)
или и2 С (46)-2 = 6,25 при 6 = 0,1. Во всяком случае, (7.3.61) является
хорошим первым приближением для инвариантного распределения, хотя в нем и
полностью отсутствует слоистая структура, масштаб которой по и
существенно меньше 1 (см. рис. 7.28, а).
Чтобы получить эту структуру, воспользуемся методом итераций, согласно
(7.3.48), взяв в качестве начального Р(0> распределение (7.3.61).
Записывая (7.3.48) в явном виде, находим
Р{1+1) (и, ф) dudty = Р<1> (и, ф)с/пс1ф, (7.3.62)
или
Р(Ж) (й, ф) = RPii} (и, ф), (7.3.63)
где
R = д(7.3.64) д(и, ф) v '
- якобиан обратного отображения (Г-1)
и = и(и, ф), ф = ф(ц, ф). (7.3.65)
472
Глава 7
Для диссипативного отображения Улама (7.3.55) R = (1-б)-1 из
(7.3.56), а Г1 имеет вид
. -г 2пМ я|з=г|з------=-,
и =
(7.3.66)
и - sin [гр -(2пЛ4/и)]
1 -б
Рис. 7.29. Сравнение численных данных для инвариантного распределения с
решением уравнения ФПК при б = 0,1 и различных значениях М.
По оси ординат отложена величина, пропорциональная интегралу функции
распредепе-иия по фазе ф.
Диссипативные системы
473
Подставляя (7.3.66) в (7.3.63) с Р(0) из (7.3.61), получаем следующее
приближение для инвариантного распределения:
86 \ 1 2 1
1
-ехр
26]
(1-6)2
sin (4
[2яЛ4
)П-
(7.3.67)
4,8-
4,8 -
Рис. 7.30. Последовательные приближения при вычислении инвариантного
распределения (по данным работы [277]).
a) рб)(и, ф); б) р(Щи, г|>); на чальное р№(и) из (7.3.6!). Обозначение и
параметры те же, что и на рис. 7.28, 6.
Это приближение показано на рис. 7.30, а, взятом из работы Либермана и
Цанга [277]. Его следует сравнить с численными данными на рис. 7.28, б. В
обоих случаях использованы одинаковые параметры модели и ее представления
на фазовой плоскости. Грубая слоистая структура Р(|) хорошо согласуется с
численными данными. Результат второй итерации (7.3.63) - распределение
Р{2) -
474
Глава 7
показан на рис. 7.30, б в тех же условиях. Согласие с численными данными
на рис. 7.28, б становится поразительно хорошим. Следующие итерации дали
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed