Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
являются необходимыми условиями появления странного аттрактора1), они не
являются достаточными.
- Точка
I \ сгущения _
^ J 1-ая Z-ая \ г-*-.
V 1---------------------1--------------------1-ЬЧ-1-I-s-h
0,76 0,83 0,95 1,04 1,08 1,15 1,2 2,45
Пересечение ~~ 1 ^ ....... ^
сепаратрис Бифуркации- Странный
уобоения аттрактор
периоЗа
Рис. 7.27. Поведение решения уравнения Дюффинга (7.3.32) в зависимости от
амплитуды у внешней периодической силы заданной частоты м при постоянном
затухании 5.
/ - граница пересечения сепаратрис (численный результат)^ 2 - то же,
теория (7.3.38); 3 - интервал существования предельного цикла периода о.
Диссипативные отображения. Метод Мельникова можно использовать и для
изучения двумерных диссипативных отображений. Рассмотрим, например,
обобщенное стандартное отображение (7.3.4) (с заменой и и v на / и 0):
dI '_8/+/(е)]б1(П),
<'п ' (7.3,39)
dQ г
dn
где б 1(п) - периодическая б-функция (3.1.33). Если принять / = = /С sin
0, оставить только два члена в бх (п) " 1 -f- 2 cos 2пп и ввести
дополнительный малый параметр возмущения 8, то полу-
г) Ни бифуркации удвоения, ни пересечения сепаратрис не являются
необходимыми для хаотического аттрактора, как показывает классический
пример Лоренца (см. также конец п. 7.46). Тем более не требуется
совпадения этих условий. Если, например, изменить знак линейной силы в
уравнении Дюффинга (7.3.32), то сепаратрисы вообще не будет, а
хаотический аттрактор останется 1210].- Прим. ред.
Диссипативные системы
465
чим уравнения типа (7.3.18): dl
= К sin 0-f е (- 81 -ф- 2К sin 0 cos 2пп),
dn
dQ j
dn
(7.3.40)
Невозмущенная сепаратриса этой системы имеет, как мы знаем, вид [см.
(1.3.21)]:
0О (n) = 4arctg(exp (У А п)) -я,
(7.3.41)
I0(n) = 2 VK sin
Подставляя (7.3.41) в (7.3.31), можно вычислить расщепление сепаратрисы:
оо
D(n0)- f I0(n-n0) {- 8I0(ti-n0) + 2K sin [0o(n-n0)] cos2nnj dn.
-oo
(7.3.42)
Здесь первый интеграл берется элементарно, а второй сводится к интегралу
Мельникова-Арнольда (п. 3.5а). В результате получим
D(n0) 4л
Q о
Qo
ch (nQ0/2)
sin 2л"0 - 46
(7.3.43)
1 /9
где Qo = 2п/К . Поэтому условие пересечения сепаратрис имеет вид
Qn 1
6<-^---------------- , (7.3.44)
4 ch (л(?0/2)
или для Qo > 1
Q0 / я<20 Л
6<- ехр(-- )¦
Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В
частности, его можно использовать для изучения движения вблизи
сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным
математическим результатам в теории диффузии Арнольда [ 197 ] х).
В Речь идет о более аккуратном установлении самого факта существования
диффузии в окрестности резонансных сепаратрис для широкого класса
гамильтоновых систем (гипотеза Арнольда [462]).- Прим. ред.
466
Глава 7
7.3в. Вычисление инвариантных распределений
Рассмотрим задачу о вычислении инвариантного распределения Р (л;) на
странном аттракторе. Как упоминалось в п. 7.2в, Р (л;) удовлетворяет
уравнению
Р(х) = ТР{х), (7.3.45)
где Т - отображение в сечении Пуанкаре. В случае нескольких инвариантных
распределений мы будем понимать под Р (л;) равновесное распределение, для
которого среднее по времени на почти любой траектории из области
притяжения аттрактора равно фазовому среднему, вычисленному с этим
распределением х).
Пусть G (х) - некоторая функция в фазовом пространстве.
Ее временное среднее на траектории с начальными условиями х0
равно
G (х0) = lim - У G (Т'х). (7.3.46)
П^ос П ^0
Для почти всех д;0 в области притяжения данного аттрактора G не зависит
от х0 и равно
G= \dxP{x)G(x), (7.3.47)
где Р (х) - инвариантное распределение для аттрактора. Соотношение
(7.3.47) часто более удобно для вычисления G, чем (7.3.46). В частности,
с помощью инвариантного распределения вычисляются показатели Ляпунова
(для одномерного отображения это описано в п. 7.2в).
В случае гамильтоновой системы и канонических переменных х равновесное
распределение Р (х) = с, где постоянная с>0 на всей хаотической
компоненте движения и с = 0 вне ее. Если хаотическая компонента заполняет
почти все фазовое пространство, как, например, в стандартном отображении
(3.1.22) при /С" К то Р = 1/т, где т - объем произвольной области
фазового пространства, по которой производится интегрирование в (7.3.47).
Однако для диссипативных систем Р {х) априори неизвестно и его нужно
находить для каждого интересующего нас аттрактора2). Основной метод
определения Р (х) состоит в итерировании (7.3.45)
P(l+I)(x) = TPw (х), (7.3.48)
начиная с какого-либо начального распределения Р° (х) (предполагая, что
вне области притяжения аттрактора Р(0> (х) = 0). Тогда 3)
Р (x) = limP(i) (х).
I -со
*) См. примечание редактора на с. 444.- Прим. ред.
2) При практических вычислениях средних обычно достаточно знать
крупноструктурное инвариантное распределение.
3) Этот предел существует, вообще говоря, лишь для хаотического
аттрактора с перемешиванием.- Прим. ред.
Диссипативные системы
467
Сведение к одномерному отображению. Некоторое упрощение вычислений можно
