Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 159

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 742 >> Следующая

сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже
не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос.
Метод Мельникова использовался в теории динамических систем Морозовым
[305, 306], Мак-Лафлином [288, 289] и Холмсом [195, 196]. В частности,
Морозов и Холмс исследовали этим методом уравнение Дюффинга. Ниже мы
следуем подходу Холмса (см. [168]). В качестве примера рассмотрим простую
двумерную авто-
Ч Речь здесь идет о возможном слиянии хаотических аттракторов,
возникающих из разных неподвижных точек.- Прим. ред.
458
Глава 7
номную систему с единственной гиперболической точкой под действием
периодического возмущения:
л = /оИ + еЛ(^, 0, (7.3.18)
где х = (х1г х2), а функция /г периодична по t с периодом Т.
Невозмущенная система является интегрируемой и имеет гиперболическую
точку Х0 с единой сепаратрисой дг0 (t), так что
lim x0(t) = X0.
в г
Рис. 7.24. Входящая и выходящая сепаратрисы гиперболической точки Х0.
а - интегрируемая система, обе сепаратрисы плавно переходят друг в друга;
6 - возмущенная система, выходящая сепаратриса окружает входящую; в -
входящая сепаратриса окружает выходящую; г - сепаратрисы пересекаются.
Схематически это показано на рис. 7.24, а, где в фазовом пространстве
(xlt х2) системы изображены совпадающие в данном случае входящая Xs (t) и
выходящая хи (t) сепаратрисы. Внутри области, охватываемой сепаратрисой,
имеется, вообще говоря, эллиптическая неподвижная точка.
При включении возмущения фазовое пространство системы становится
трехмерным (лг1( х2, t), поэтому наиболее удобно рассматривать движение
на поверхности сечения t = const (mod Т). Как показано в п. 3.26, в
возмущенной гамильтоновой системе сепаратриса "расщепляется", т. е.
входящая и выходящая сепаратрисы уже не совпадают, а, вообще говоря,
пересекаются между собой, приводя к бесконечному числу гомоклинных точек
и хаотическому движению. В более общем диссипативном случае имеются три
воз-
Диссипативные системы
459
можности [6611), показанные на рис. 7.24. Сепаратрисы либо нигде не
пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис.
7.24, б и в), либо пересекаются в бесконечном числе точек. Хаотическое
движение возникает только в последнем случае.
Метод Мельникова. Чтобы найти условие пересечения, вычислим по теории
возмущений расстояние D между сепаратрисами в некоторый момент времени
t0. Для случая на рис. 7.24, б D<zO, а на рис. 7.24, в D>0 при любом t0.
И, только если для какого-либо t0 величина D меняет знак, возникает
хаотическое движение2), показанное на рис. 7.24, г.
Для вычисления D достаточно знать обе сепаратрисы Xs и хи в первом
порядке по е. Записывая
xs'u(t, t0) = x0(t-t0) + ejftu(t, t0), (7.3.19)
где to - произвольный начальный момент времени, а х0 - единая
невозмущенная сепаратриса, и подставляя (7.3.19) в (7.3.18), получаем в
первом порядке
dx\' " dt
+ 0> (7-3-20)
где
М (jc0) =
dxi
- матрица Якоби для вектора/0, взятая на невозмущенной траектории x0(t-
10). Нам нужно решение (7.3.20) для Xs при t^>t0 и для хи при t<; t0,
такое, чтобы
lim.*;s = lim хи = Хр,
t-> со t->-оо
где Хр - возмущенное положение гиперболической точки. Эти решения
отличаются на вектор (е = 1)
d(t, t0) = x\t, t0)-xu(t, to) = x\(t, t0)-x?(t, t0). (7.3.21)
Расщепление сепаратрисы по Мельникову3) D (t, ^0) определяется как
проекция d на нормаль N к невозмущенной сепаратрисе х0 в момент времени t
(рис. 7.25):
D(t, to) = N-d. (7.3.22)
0 Все эти случаи рассмотрены Мельниковым [298].- Прим. ред.
2) Вообще говоря, это будет лишь так называемый переходной или временный
хаос (см. ниже).- Прим. ред.
3) В оригинале - the Melnikov distance (расстояние Мельникова). -
Прим. перев.
460
Глава 7
(7.3.23)
Используя (7.3.18) (при е = 0), определим вектор нормали как1)
II /J 14 (-fo2(Xo)\
"(,'g = l M-J'
Вводя оператор 2)
х1\У = Х\\)г-хгуг, можно записать (7.3.22) в виде
D(t, t0) = f0/\d.
(7.3.24)
d(t, tD)
Рис. 7.25. Расщепление сепаратрисы D - N d по Мельникову.
Пунктирной кривой показана невозмущенная сепаратриса гиперболической
точки XGt которая под действием возмущения смещается в точку Xр.
Чтобы найти явное выражение для D, представим его как
D = DS-DU, (7.3.25а)
где
Ds'u(t, g =/о Л (7.3.256)
Дифференцируя по времени, имеем, например, для Ds:
0! = /0Л^ + /оЛ^= MW-^o /\xl + f0Axl (7.3.26)
Ч Поскольку вводимый таким образом вектор N не является единичным,
величина D в (7.3.22) не равна расстоянию между сепаратрисами и даже
имеет другую размерность. Для рассматриваемой здесь задачи об условии
пересечения сепаратрис это несущественно. С другой стороны, нормировка N
неоправданно усложнила бы нижеследующие уравнения для D, проще сделать
это в конце вычислений.- Прим. ред.
2) Действие этого оператора удобно представить в виде х/\у = еikXiyk<
где - единичная антисимметричная матрица (s12 = 1).- Прим. ред.
Диссипативные системы
461
Используя (7.3.20) и JCo = /o> получаем
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed